Burnside引理和Polya计数学习小记 [FINISHED]
在组合数学中有这样一类问题，比如用红蓝两种颜色对2*2的格子染色，旋转后相同的算作一种。有多少种不同的染色方案？我们列举出，那么一共有16种。但是我们发现，3,4,5,6是同一种，7,8,9,10是用一种，11,12是同一种，13,14,15,16是同一种，也就是只有6种本质上不同的染色。小规模我们可以列举所有方案然后再选择，大规模的时候是很难列举所有方案的。下面，我们说明用Burnside引理和polya计数来解决这类问题。
一、置换群$G$：即指所有的置换。上面的例子中置换只有4种，即旋转0、90、180和270度。其中G的大小记为$G=4$。
二、对于每个元素$k$，这里的$k$满足$1<=k<=16$，$G$中使得$k$保持不变的置换组成的全体，称为$Z_{k}$。比如四种置换都可以使得1保持不变，而只有第一种和第三种置换使得11保持不变，所以我们有（$G$中的元素用$g$来表示）：
$Z_{1}=\{g_{1},g_{2},g_{3},g_{4}\}$
$Z_{11}=\{g_{1},g_{3}\}$
三、对于每个元素$k$，在四种置换的作用下依次得到的元素称作$k$在$G$下的轨迹，表示为$E_{k}$，代表一个等价类。比如1在四种置换下都得到1,3在四种置换下依次得到3,4,5,6。所以我们有：
$E_{1}=\{1\}$
$E_{3}=\{3,4,5,6\}$
我们发现在同一个等价类中的元素的等价类都是一样的，比如3,4,5,6的等价类都是跟3一样的。在这里我们给出一个公式，自己计算下显然成立$|E_{k}||Z_{k}|=|G|$
四、接下来我们计算每个元素在各个置换下不变的次数总和。如下图所示。
$\begin{bmatrix}
G\setminus k & 1 & 2 & ... & 16 & sum\\
g_{1} & S_{1,1} & S_{1,2} & ... & S_{1, 16}& D(g_{1})=16\\
g_{2} & S_{2,1} & S_{2,2} & ... & S_{2, 16}& D(g_{2})=2\\
g_{3} & S_{3,1} & S_{3,2} & ... & S_{3, 16}& D(g_{3})=4\\
g_{4} & S_{4,1} & S_{4,2} & ... & S_{4, 16}& D(g_{4})=2\\
& |Z_{1}| & |Z_{2}| & ... & |Z_{16}| &\sum_{k}|Z_{k}|=\sum_{i}|D(g_{i})| =24
\end{bmatrix}$
$S_{i,j}=1$当且仅当$g_{i}\in Z_{j}$且$j$在$g_{i}$下没有变，否则$S_{i, j}=0$
由上图可得到，比如1在第一种置换下没有变，那么$S_{1,1}=1$，且在第一种置换下16种都没有变，第二种置换下只有1、2没有变，第三种置换下只有1,2,11,12没有变，第四种置换下只有1、2没有变，那么有：$D(g_{1})=12,D(g_{2})=2,D(g_{3})=4,D(g_{4})=2$
其实我们有下面的式子成立：$\sum_{k}|Z_{k}|=\sum_{i}|D(g_{i})| =24$
下面，我们用n来表示总的元素个数，上面n=16,我们用|G|来表示置换个数，上面|G|=4。我们设有L个等价类（我们在上面说了，比如3,4,5,6的等价类都是一样的，上面其实只有5个等价类,{1},{2},{3,4,5,6},{11,12},{13,14,15,16}），我们有：$n=\sum_{i=1}^{L}|E_{i}|$
所以，$\sum_{j=1}^{n}|Z_{j}|=\sum_{i=1}^{L}\sum_{j\in E_{i}}|Z_{j}|=\sum_{i=1}^{L}|E_{i}||Z_{i}|=L*|G|=\sum_{i=1}^{|G|}D(g_{i})$
即$L=\frac{\sum_{i=1}^{|G|}D(g_{i})}{|G|}$
这个就是著名的Burnside引理。注意这里的L其实就是我们要求的不同的染色方案的数目。因为L代表的是不同的等价类，同一个等价类就好比是一种染色。我们得到L=(16+2+4+2)/4=6，跟一开始我们得到的答案是一样的。使用这个引理计算时，第一步求出所有的置换，第二步计算每种置换下的不变元素的个数。但是，我们发现，有时候第二步的这个计算是不那么容易的。下面我们说polya定理。
五、我们首先说明循环节是个啥。
$\begin{pmatrix}
1 &2 & 3 & 4 & 5\\
3 & 5 & 1 & 4 & 2
\end{pmatrix}=(13)(25)(4)$
比如对于一个n=5，在某一种置换下（1,2,3,4,5）变成了(3,5,1,4,2)，我们将其记为(13)(25)(4)，即该置换的循环节为3。也就是两个置换节之间是不相交的。对于上面的那个问题，我们对四个方格标号1,2,3,4。
$g_{i}$的循环节记为$c(g_{i})$.那么有:
旋转0度:
$\begin{pmatrix}
1 &2 & 3 & 4\\
1 & 2 & 3 & 4
\end{pmatrix}=(1)(2)(3)(4)\Rightarrow c(g_{1})=4$
旋转90度:
$\begin{pmatrix}
1 &2 & 3 & 4\\
4 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}=(1234)\Rightarrow c(g_{2})=1$
旋转180度:
$\begin{pmatrix}
1 &2 & 3 & 4\\
3 & 4 & 1 & 2
\end{pmatrix}=(13)(24)\Rightarrow c(g_{3})=2$
旋转270度:
$\begin{pmatrix}
1 &2 & 3 & 4\\
4 & 1 & 2 & 3
\end{pmatrix}=(1234)\Rightarrow c(g_{4})=1$
可以发现, $g_{i}$的同一个置换节中的元素用同一种颜色(我们现在假设用$m$种颜色，刚才$m=2$)染色得到的方案数$m^{c(g_{i})}$就是在上面在$g_{i}$置换下不变的元素数：$m^{c(g_{i})}=D(g_{i})$
由此我们得到：$L=\frac{\sum_{i=1}^{|G|}D(g_{i})}{|G|}=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}m^{c(g_{i})}$
这就是polya定理。用这个定理计算，我们只需要找到每个置换的循环节即可。
