高斯分布、多维高斯分布、各向同性的高斯分布及多元高斯分布之间的KL散度

高斯分布是一类非常重要的概率分布，在概率统计，机器学习中经常用到。

一维高斯分布

一维高斯分布的概率密度函数（pdf）形式为：

 

红色的曲线是标准的正态分布，即均值为0，方差为1的正态分布。

我们可以采用以下方程从均值为 μ 标准差为 σ 的高斯分布中采样（再参数化技巧）: 

 其中，ϵ 从一个标准高斯分布中采样。

多维/多变量高斯分布

正态分布的概念可以扩展到一个以上的维度——k维的一般多元正态分布的概率密度函数如下:

 其中，|Σ|为协方差矩阵的行列式。

 在2D中，均值向量μ和对称的协方差矩阵Σ定义为：

 其中ρ是两个维度x1和x2之间的相关系数。

各向同性的高斯分布

各向同性的高斯分布（球形高斯分布）指的是各个方向方差都一样的多维高斯分布，协方差为正实数与identity matrix相乘。

因为高斯的circular symmetry，只需要让每个轴上的长度一样就能得到各向同性，也就是说分布密度值仅跟点到均值距离相关，而不和方向有关。

各向同性的高斯每个维度之间也是互相独立的，因此密度方程可以写成几个1维度高斯乘积形式。要注意的是，几个高斯分布乘在一起得到各向同性，但几个Laplace分布相乘就得不到各向同性！

此类高斯分布的参数个数随维度成线性增加，只有均值在增加，而方差是一个标量，因此对计算和存储量的要求不大，因此非常讨人喜欢~

其中， Σ =  σI,  I为单位阵，σ为标量。

 两个多元高斯分布之间的KL散度的解析表示

 根据上述引理，可推导出两个多元高斯分布之间的KL散度的解析表示：

 具有对角协方差矩阵的多元高斯分布与多元标准高斯分布间的KL散度

对角形式的协方差矩阵 Σ = diag(σ²), σ为标准差向量。

具有对角协方差矩阵的高斯分布每个维度之间也是互相独立的，因此密度方程也可以写成几个1维度高斯乘积形式。

 

 一种直观的解释方式：

注意到，密度方程可以写成几个1维度高斯乘积形式，

 

 最后的结果是各个维度结果的加和。

 复数高斯分布

随机变量是复数时，定义以下复高斯分布：

 

 当mu=0时，该分布是圆对称的（对于x的相位偏移具有不变性）。

参考：

https://www.zhihu.com/question/343638697/answer/808598383

https://kexue.fm/archives/5253

 

https://blog.csdn.net/NeutronT/article/details/78086340