频率分辨率

频率分辨率是指将两个相邻谱峰分开的能力。在实际应用中是指分辨两个不同频率信号的最小间隔。研究数字频谱最有效方法通常是离散傅里叶变换。

定义

频率分辨率是数字信号处理课程教学中一个重要的概念，因为它决定了DFT参数的选择 [1]  。在现有的数字信号处理的书籍中，一般认为DFT频率分辨率为Δf=fs/N。

 

频率分辨率是指所用的算法能将信号中两个靠得很近的谱峰保持分开的能力。实际应用时，可以将频率分辨率理解为频谱图中，在频率轴（频谱图的水平轴)）上得到的最小频率间隔如果采样频率为fs，采样时间间隔为t，采样点数为N，采样时间为t（完成一组样本的采集所需要的时间），则频率分辨率 为：

第一种解释

频率分辨率可以理解为在使用DFT时，在频率轴上的所能得到的最小频率间隔

  

其中，N为采样点数，  为采样频率， 为采样间隔。所以 就是采样前模拟信号的时间长度T，所以信号长度越长，频率分辨率越好。

采样点数的多少与要求多大的频率分辨率有关。

例如：机器转速3000r/min=50Hz，如果要分析的故障频率估计在8倍频以下，要求谱图上频率分辨率ΔF=1 Hz ，则采样频率和采样点数设置为：
　　最高分析频率Fm=3000/8·50Hz=400Hz；
　　采样频率Fs=2.56·Fm=2.56 ·400Hz=1024Hz；
　　采样点数N=2.56·（Fm/ΔF）=2.56·（400Hz/1Hz）=1024
　　谱线数M=N/2.56=1024/2.56=400条

按照FFT变换，实际上得到的也是1024点的谱线，但是我们知道数学计算上存在负频率，是对称的，因此，实际上我们关注的是正频率部分对应的谱线，也就是说正频率有512线，为什么我们通常又说这种情况下是400线呢，就是因为通常情况下由于频率混叠和时域截断的影响，通常认为401线到512线的频谱精度不高而不予考虑。

另外，采样点数也不是随便设置的，即不是越大越好，反之亦然。对于旋转机械必须满足整周期采样，以消除频率畸形，单纯提高分辨率也不能消除频率畸形。过去，有人以为数据越长越好，或随便定时域信号长度，其实，这样做是在某些概念上不清楚，例如，不清楚整周期采样。

不产生频率混迭的最低采样频率Fs要求在2倍最大分析频率Fm，之所以采用2.56倍主要跟计算机二进制的表示方式有关。其主要目的是避免信号混淆保证高频信号不被歪曲成低频信号。
采样长度T的选择首先要保证能反映信号的全貌，对瞬态信号应包括整个瞬态过程；对周期信号，理论上采集一个周期信号就可以了。其次需考虑频率分辩率，采样长度T在最大分析频率Fm确定的情况下与频率分辩率△f是反比关系，也就是T越长△f越小即频率分辩率越高。

一般的分析软件都是设置谱线数M，采样点数N=2.56M。信号分析中常用的采样点数是512、1024、2048、4096等。等效于我们常说的200、400、800、1600线等频谱线数,频谱分析一般采样点数选取2的整数次方。△f=Fm/M,可见谱线数M越大频率分辩率△f越小即频率分辩率越高。

在电机的故障诊断中，为了发现边带间隔为极通频率（一般在1Hz以下)的峰值，常常需要极高的分辩率（1Hz以下），一般选择210HzFm,6400谱线。

至于整周期采样是很难实现的，必然会因为信号截断而产生泄露，为了避免这些误差，所以要采取加窗的办法。

 

第二种解释

频率分辨率也可以理解为某一个算法（如功率谱估计方法）将原信号中的两个靠得很近的谱峰依然能保持分开的能力。这是用来比较和检验不同算法性能好坏的指标。

 

在信号系统中，宽度为N的矩形脉冲，它的频域图形为sinc函数，两个一阶零点之间的宽度为4π/N。由于时域信号的截短相当于时域信号乘了一个形窗函数，那么该信号的频域就等同卷积了一个sinc函数，也就是频域受到sinc函数的调制了，根据卷积的性质，因此两个信号圆周频率之差W0必须大于4π/N。

 

由此可得，如果增加数据点数N，即增加数据长度，也可以使频率分辨率变好，这一点与第一种解释是一样的。同时，考虑到窗函数截断数据的影响存在，当然窗函数的特性也要考虑，在频率做卷积，如果窗函数的频谱是个冲击函数，就相当于没截断，可此种情况是不存在的，考虑窗函数主要是以下几点：

1.主瓣宽度B最小（相当于矩形窗时的4π/N，频域两个过零点间的宽度）频率分辨率

2.最大边瓣峰值A最小（这样旁瓣泄露小，一些高频分量损失少了）

3.边瓣谱峰渐近衰减速度D最大（同样是减少旁瓣泄露）

 

当今最常见时频分析方法主要有四种，分别是基于短时傅立叶变换法，基于小波变换法，Choi-Williams分布法和Hilbert-Huang变换法，经实验测得Hilbert-Huang具有最高的频率分辨率。

 

研究方法

研究数字频谱最有效方法通常是离散傅里叶变换。时频分析是分析时变谱的有力工具，其频率分辨率是值得研究的关键问题之一。

 

通过对基于短时傅里叶变换、小波变换、Choi-Williams分布和Hilbert-Huang变换的四种时频分析方法的频率分辨率的实验比较，说明Hilbert-Huang变换法具有最高的频率分辨率，其次是Choi-Williams分布，小波紧随其后，最差是短时傅里叶变换。