hdu 3537(博弈，翻硬币)

题意：给定了每个正面朝上的硬币的位置，然后每次可以翻1,2,3枚硬币，并且最右边的硬币开始必须是正面朝上的。

分析：

约束条件6：每次可以翻动一个、二个或三个硬币。（Mock Turtles游戏）

初始编号从0开始。

当N==1时，硬币为：正，先手必胜，所以sg[0]=1.

当N==2时，硬币为：反正，先手必赢，先手操作后可能为：反反或正反，方案数为2，所以sg[1]=2。

当N==3时，硬币为：反反正，先手必赢，先手操作后可能为：反反反、反正反、正反正、正正反，方案数为4，所以sg[2]=4。

位置x：0  1  2  3  4   5    6   7    8     9  10  11  12  13  14...

sg[x]：  1  2  4  7  8  11 13 14  16  19  21  22  25  26  28…

看上去sg值为2x或者2x+1。我们称一个非负整数为odious，当且仅当该数的二进制形式的1出现的次数是奇数，否则称作evil。所以1，2，4，7是odious因为它们的二进制形式是1,10,100,111.而0,3,5,6是evil，因为它们的二进制形式是0,11,101,110。而上面那个表中，貌似sg值都是odious数。所以当2x为odious时，sg值是2x，当2x是evil时，sg值是2x+1.

这样怎么证明呢？我们会发现发现，

                                                      evil^evil=odious^odious=evil

                                                      evil^odious=odious^evil=odious

假设刚才的假说是成立的，我们想证明下一个sg值为下一个odious数。注意到我们总能够在第x位置翻转硬币到达sg为0的情况；通过翻转第x位置的硬币和两个其它硬币，我们可以移动到所有较小的evil数，因为每个非零的evil数都可以由两个odious数异或得到；但是我们不能移动到下一个odious数，因为任何两个odious数的异或都是evil数。

 

假设在一个Mock Turtles游戏中的首正硬币位置x1,x2,…,xn是个P局面，即sg[x1]^…^sg[xn]=0.那么无可置疑的是n必定是偶数，因为奇数个odious数的异或是odious数，不可能等于0。而由上面可知sg[x]是2x或者2x+1，sg[x]又是偶数个，那么x1^x2^…^xn=0。相反，如果x1^x2^…^xn=0且n是偶数，那么sg[x1]^…^sg[xn]=0。这个如果不太理解的话，我们可以先这么看下。2x在二进制当中相当于把x全部左移一位，然后补零，比如说2的二进制是10，那么4的二进制就是100。而2x+1在二进制当中相当于把x全部左移一位，然后补1，比如说2的二进制是10，5的二进制是101。现在看下sg[x1]^…^sg[xn]=0，因为sg[x]是2x或者2x+1，所以式子中的2x+1必须是偶数个（因为2x的最后一位都是0,2x+1的最后一位都是1，要最后异或为0,2x+1必须出现偶数次）。实际上的情况可能是这样的:

MT游戏当中的P局面是拥有偶数堆石子的Nim游戏的P局面。

 

这是翻硬币游戏里面种的一种，有了上面的理论之后这道题也就容易了！不过这道题要注意的地方就是去除重复位置！！

代码实现：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n, a[105];

int main()
{
    int flag, i, len, num, x;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        flag=0;
        if(n==0)
        {
            printf("Yes\n");
            continue;
        }
        for(i=0; i<n; i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        sort(a,a+n);
        len=0;
        a[len++]=a[0];
        for(i=1;i<n;i++)
          if(a[i]!=a[len-1])
              a[len++]=a[i];

        for(i=0; i<len; i++)
        {
            num=0;
            x=a[i]*2;
            while(a[i])
            {
                if(a[i]&1)
                    num++;
                a[i]=a[i]>>1;
            }
            if(num%2==0)
                x++;
            flag=flag^x;
        }

        if(flag)
            printf("No\n");
        else
            printf("Yes\n");
    }
    return 0;
}