园龄：3年1个月粉丝：3 关注：4

📂学习笔记

🔖cdq 分治整体二分

2023-09-15 21:59阅读: 93评论: 0推荐: 0

【学习笔记】(26) cdq 分治与整体二分

cdq 分治

基本思想

我们要解决一系列问题，这些问题一般包含修改和查询操作，可以把这些问题排成一个序列，用一个区间[L,R]表示。
分。递归处理左边区间 $[L, M]$ 和右边区间 $[M + 1, R]$ 的问题。
治。合并两个子问题，同时考虑到 $[L, M]$ 内的修改对 $[M + 1, R]$ 内的查询产生的影响。即，用左边的子问题帮助解决右边的子问题。

这就是CDQ分治的基本思想。和普通分治不同的地方在于，普通分治在合并两个子问题的过程中， $[L, M]$ 内的问题不会对 $[M + 1, R]$ 内的问题产生影响。

应用

1.解决和点对有关的问题

P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

先按照a元素从小到大排序，忽略a元素的影响。然后CDQ分治，按照b元素从小到大的顺序进行归并操作。但是这时候没办法像求逆序对一样简单地统计个数了，c元素如何处理呢？

这时候比较好的方案就是借助权值树状数组。每次从右边的序列中取出三元组(a,b,c)时，对树状数组查询c值小于(a,b,c)的三元组有多少个；每次从左边序列取出三元组(a,b,c)的时候，根据c值在树状数组中进行修改。注意，每次使用完树状数组记得把树状数组归零。

 #include<bits/stdc++.h>
#define N 200005
using namespace std;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}
int n,k,cnt,nn;
int c[N],ans[N];
struct obj{
	int a,b,c;
	int cnt,id,ans;
}s1[N],s2[N];
bool cmp1(obj x,obj y){
	return x.a==y.a?(x.b==y.b?x.c<y.c:x.b<y.b):x.a<y.a;
}
bool cmp2(obj x,obj y){
	return x.b==y.b?x.c<y.c:x.b<y.b;
}
void add(int x,int delta){
	for(;x<=k;x+=x&-x) c[x]+=delta;
}
int ask(int x){
	int sum=0;
	for(;x;x-=x&-x) sum+=c[x];
	return sum;
}
void cdq(int l,int r){
	if(l==r) return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	cdq(l,mid);
	cdq(mid+1,r);
	sort(s2+l,s2+1+mid,cmp2);
	sort(s2+mid+1,s2+r+1,cmp2);
	int i=mid+1,j=l;
	for(;i<=r;i++){
		while(s2[i].b>=s2[j].b&&j<=mid){
			add(s2[j].c,s2[j].cnt);
			j++;
		}
		s2[i].ans+=ask(s2[i].c);
	}
	for(int i=l;i<j;i++) add(s2[i].c,-s2[i].cnt);
}
int main(){
	n=read(),k=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		s1[i].a=read(),s1[i].b=read(),s1[i].c=read();
		s1[i].id=i;
	}
	sort(s1+1,s1+1+n,cmp1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cnt++;
		if(s1[i].a!=s1[i+1].a||s1[i].b!=s1[i+1].b||s1[i].c!=s1[i+1].c){
			s2[++nn].a=s1[i].a,s2[nn].b=s1[i].b,s2[nn].c=s1[i].c,s2[nn].id=s1[i].id,s2[nn].cnt=cnt;
			cnt=0;
		}
	}
	cdq(1,nn);
	for(int i=1;i<=nn;i++) ans[s2[i].ans+s2[i].cnt-1]+=s2[i].cnt;
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}

2.优化 1D 动态规划转移

1D 动态规划指的是一类特定的 DP 问题，该类题目的特征是 DP 数组是一维的，转移是 O(n) 的。

而分治能把他们的时间复杂度下降到 $O (n l o g^{2} n)$

通常，这些 dp 条件是多维偏序。

流程

$l = r$ 说明 $d p_{r}$ 值已经被计算好了，直接令 $d p r + 1$
递归使用 $s o l v e (l, m i d)$
处理所有 $l \leq j \leq m i d, m i d + 1 \leq i \leq r$ 的转移关系
递归使用 $s o l v e (m i d + 1, r)$

P2487 [SDOI2011] 拦截导弹

朴素dp 是 $O (n^{2})$ 的，因为转移其实是三维偏序（加上时间），考虑用 cdq 来优化。类似三维偏序。

$f 1_{i}$ 表示以 $i$ 结尾的最长不降子序列的数量， $f 2_{i}$ 表示以 $i$ 开头的最长不降子序列的数量。

$d p 1_{i}$ 表示以 $i$ 结尾的最长不降子序列长度， $d p 2_{i}$ 表示以 $i$ 开头的最长不降子序列长度。

 #include<bits/stdc++.h>
#define db double
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 5e4 + 67;
int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
 
bool _u;
 
int n;
struct node{
	int x, y, z;
	ll dp;
	db f;
}a[N];
 
ll dp1[N], dp2[N], c1[N];
db f1[N], f2[N], c2[N];
 
bool cmp1(node a, node b){return a.x == b.x ? (a.y == b.y ? a.z < b.z : a.y > b.y) : a.x > b.x;}
bool cmp2(node a, node b){return a.x == b.x ? (a.y == b.y ? a.z < b.z : a.y < b.y) : a.x < b.x;}
bool cmp3(node a, node b){return a.y > b.y;}
bool cmp4(node a, node b){return a.y < b.y;}
 
void modify(int x, ll dp, db f){
	for(; x <= n; x += x & -x){
		if(c1[x] < dp) c1[x] = dp, c2[x] = f;
		else if(c1[x] == dp) c2[x] += f;
	}
}
 
ll query1(int x){
	ll res = 0;
	for(; x; x -= x & -x) res = max(res, c1[x]);
	return res;
}
 
db query2(int x, ll dp){
	db res = 0;
	for(; x; x -= x & -x) if(c1[x] == dp) res += c2[x];
	return res;
}
 
void del(int x){
	for(; x <= n; x += x & -x) c1[x] = c2[x] = 0;
}
 
bool check(int i, int j, int opt){
	if(opt == 1) return a[i].y >= a[j].y;
	else return a[i].y <= a[j].y;
}
 
void merge_sort(int l, int r, int opt){
	int mid = (l + r) >> 1, i = l, j = mid + 1;
	while(i <= mid && j <= r){
		if(check(i, j, opt)) modify(a[i].z, a[i].dp, a[i].f), ++i;
		else{
			int val = query1(a[j].z) + 1;
			if(a[j].dp < val) a[j].dp = val, a[j].f = query2(a[j].z, val - 1);
			else if(a[j].dp == val) a[j].f += query2(a[j].z, val - 1);
			++j;
		}
	}
	while(j <= r){
		int val = query1(a[j].z) + 1;
		if(a[j].dp < val) a[j].dp = val, a[j].f = query2(a[j].z, val - 1);
		else if(a[j].dp == val) a[j].f += query2(a[j].z, val - 1);
		++j;
	}
	for(int _ = l; _ < i; ++_) del(a[_].z);
}
 
void cdq(int l, int r, int opt){
	if(l == r) return ;
	int mid = (l + r) >> 1;
	cdq(l, mid, opt);
	if(opt == 1) sort(a + l, a + mid + 1, cmp3), sort(a + mid + 1, a + r + 1, cmp3);
	else sort(a + l, a + mid + 1, cmp4), sort(a + mid + 1, a + r + 1, cmp4);
	merge_sort(l, r, opt);
	if(opt == 1) sort(a + mid + 1, a + r + 1, cmp1);
	else sort(a + mid + 1, a + r + 1, cmp2);
	cdq(mid + 1, r, opt);
}
 
bool _v;
 
signed main(){
	cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n";
	
//	freopen("3.in", "r", stdin);
//	freopen("1.out", "w", stdout); 
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		a[i].x = read(), a[i].y = read(), a[i].z = i;
		a[i].f = a[i].dp = 1;
	} 
	sort(a + 1, a + 1 + n, cmp1);
	cdq(1, n, 1);
	ll ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) dp1[a[i].z] = a[i].dp, f1[a[i].z] = a[i].f, ans = max(ans, dp1[a[i].z]);
	printf("%lld\n", ans);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i].z = n - a[i].z + 1, a[i].dp = a[i].f = 1;
	sort(a + 1, a + 1 + n, cmp2);
	cdq(1, n, 2);
	db k = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		dp2[n - a[i].z + 1] = a[i].dp, f2[n - a[i].z + 1] = a[i].f;
		if(dp2[n - a[i].z + 1] == ans) k += f2[n - a[i].z + 1];
	} 
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		if(dp1[i] + dp2[i] == ans + 1) printf("%.5lf", f1[i] * f2[i] / k);
		else printf("0.00000");
		if(i < n) printf(" ");
	}
	puts("");
	return 0;
}

3.动态问题转化为静态问题

前两种情况使用分治目的是：将序列折半，递归处理点对间的关系。

不过现在要求折半时间序列。

它适用于一些「需要支持做 XXX 修改然后做 XXX 询问」的数据结构题。该类题目有两个特点：

把询问离线，所有操作会按时间排成一个序列。
每一个修改和之后的询问息相关，有 $O (n^{2})$ 对。

分治的操作和处理点对关系的分支操作也相同。

如果各个修改之间是独立的话，就不需要处理左右区间的时序问题。

如果不独立，那么两个区间可能会进行依赖关系，此时所有跨越 $m i d$ 的修改必须放在 $s o l v e (l, m i d)$ 和 $s o l v e (m i d + 1, r)$ 之间。

P3206 [HNOI2010] 城市建设

我们可以通过分治，一层层的统一求出一定用到的边和一定用不到的边，达到减少边数的效果，最后到达边界时再进行暴力，可以起到很好的加速效果。本质上就是将单独选边转化为给一个区间的所有询问选边，起到优化时间的效果。

具体的，我们的函数 CDQ(l, r) 就是要删除对于 $l, r$ 中的讯问，能够确定一定选或者一定不选的边。

具体的，我们把 [l,r] 中要修改的边的权值都改为 $- \infty$ ，再与当前边集 f 中的边跑一次最小生成树，把 f 中的边两边端点直接进行缩点（合并）。由于 fff 中的边一定能形成一棵生成树（因为原图存在生成树，并且每次分治的时候，该计算过程只删了一定不选的边，而一定选的边也进行了缩点，所以必定存在生成树），所以最多只是那 $r - l + 1$ 个修改的边的端点没有连到一起，所以点的个数为 $O (r - l + 1)$ 。

然后，我们再把 $[l, r]$ 中要修改的边的权值都改为 $+ \infty$ ，再与当前边集 f 中的边跑一次最小生成树（f 已经经过缩点）。没有选上的边就是无用的边，边的个数与点同阶，为 $O (r - l + 1)$ 。

而计算顺序是：先按顺序执行上述计算，再计算 CDQ(l,mid)，再计算 CDQ(mid+1,r)。只有这样才能保证计算 CDQ(l,r) 时， 1 到 l−1 的所有边权都修改了过来。而上述两步计算出来的边是在不管 [l,r] 怎么修改边权都成立的，所以没有关系。最后，我们带着计算出来的边，进行下一层递归即可。

 #include<bits/stdc++.h>
#define db double
#define ll long long
#define INF 1e9
using namespace std;
const int N = 5e4 + 67;
int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
 
bool _u;
 
int n, m, q;
int a[N], b[N], c[N], fa[N], ct[N];
ll ans[N];
struct edge{
	int u, v, w, id;
	bool operator < (const edge &A) const{return w < A.w;}
}e[20][N], f[N], g[N];
 
int find(int x){return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);}
 
void clear(int tot){
	for(int i = 1; i <= tot; ++i) fa[f[i].u] = f[i].u, fa[f[i].v] = f[i].v;
}
 
void cdq(int l, int r, int now, int tot, ll sum){
	if(l == r) ct[a[l]] = b[l];
	for(int i = 1; i <= tot; ++i) e[now][i].w = ct[e[now][i].id], c[e[now][i].id] = i, f[i] = e[now][i];
	clear(tot);
	if(l == r){
		ans[l] = sum, sort(f + 1, f + 1 + tot);
		for(int i = 1; i <= tot; ++i){
			int x = find(f[i].u), y = find(f[i].v);
			if(x == y) continue;
			ans[l] += f[i].w, fa[x] = y;
		}
		return ;
	}
	for(int i = l; i <= r; ++i) f[c[a[i]]].w = -INF;
	sort(f + 1, f + 1 + tot);
	int cnt = 0;
	for(int i = 1; i <= tot; ++i){
		int x = find(f[i].u), y = find(f[i].v);
		if(x == y) continue; fa[x] = y;
		if(f[i].w != -INF) g[++cnt] = f[i], sum += f[i].w;
	}
	clear(tot);
	for(int i = 1; i <= cnt; ++i) fa[find(g[i].u)] = g[i].v;
	cnt = 0;
	for(int i = 1; i <= tot; ++i){
		int x = find(f[i].u), y = find(f[i].v);
		if(x == y) continue;
		f[++cnt].u = x, f[cnt].v = y, f[cnt].w = f[i].w, f[cnt].id = f[i].id;
	}
	tot = cnt;
	for(int i = 1; i <= tot; ++i) c[f[i].id] = i;
	for(int i = l; i <= r; ++i) f[c[a[i]]].w = INF;
	clear(tot);
	sort(f + 1, f + 1 + tot);
	cnt = 0;
	for(int i = 1; i <= tot; ++i){
		if(f[i].w == INF){f[++cnt] = f[i]; continue;}
		int x = find(f[i].u), y = find(f[i].v);
		if(x == y) continue;
		fa[x] = y, f[++cnt] = f[i];
	}
	tot = cnt;
	for(int i = 1; i <= tot; ++i) e[now + 1][i] = f[i];
	int mid = (l + r) >> 1;
	cdq(l, mid, now + 1, tot, sum);
	cdq(mid + 1, r, now + 1, tot, sum);
}
 
bool _v;
 
signed main(){
	cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n";
	
 
	n = read(), m = read(), q = read();
	for(int i = 1; i <= m; ++i) e[0][i].u = read(), e[0][i].v = read(), e[0][i].w = read(), e[0][i].id = i, ct[i] = e[0][i].w;
	for(int i = 1; i <= q; ++i) a[i] = read(), b[i] = read();
	cdq(1, q, 0, m, 0);
	for(int i = 1; i <= q; ++i) printf("%lld\n", ans[i]);
	return 0;
}

整体二分

整体二分主要是把所有查询放在一起二分答案, 然后把操作也一起分治.

对没错, 放在一起. 计算的时候扫一遍当前处理的区间, 把答案在 [l,mid] 的查询放在一边递归下去, (mid,r] 的放在另一边递归下去, 递归到叶子就有答案了.

其实有点像是二分在数据结构题目上的扩展, 因为数据结构题一般不仅有多组查询还有其他的修改...

什么时候可以使用呢？

询问的答案具有可二分性。
修改对判定答案的贡献互相独立,修改之间互不影响效果。
修改如果对判定答案有贡献,则贡献为确定的判定标准无关的值。
贡献满足交换律,结合律,具有可加性。

记 [l,r] 为答案的值域，[L,R] 为答案的定义域(下标在 [L,R]之间)

首先把所有操作按照时间顺序存入数组中，然后开始分治。
在每一层分治中，利用数据结构统计当前查询的答案和 mid之间的关系（感觉有点像 CDQ分治）
根据查询出来的答案和 mid之间的关系，将当前处理的操作序列分成 $q_{1}$ 和 $q_{2}$ 两份，并且递归。
当 l=r，记录答案返回即可。

带修区间第 k 小

P2617 Dynamic Rankings

为了方便，将询问和修改统称为操作。因为后面的操作会依赖于前面的操作，因此可以将所有操作存在一个数组里，使用标记区分类型。

修改操作可以理解成：从原数列中删除一个数再添加一个数。

因此，可转化为：树状数组中删除之前的数，再插入现在的数。

数列的初始化操作可简化为插入操作。

首先原序列记为 $A$ 。对于答案区间为，有以下操作：

1、将A序列中值在 $[l, m i d]$ 的在序列中的位置单点修改（树状数组）

2、对于每一个询问 $p$

在树状数组中查询 $l - 1$ 和 $r$ 的前缀和，插值就是这个区间内小于等于 $m i d$ 的个数 $c n t$ 。

如果当前询问 $k \leq c n t$ ，那就把这个询问归到 $[l, m i d]$ 的小问题中；如果 $k > c n t$ ，就让 $k = k - c n t$ ，然后把它分到 $[m i d + 1, r]$ 这个小问题中（类似于CDQ的过程）

3、清空树状数组，递归到 $[l, m i d], [m i d + 1, r]$ 中

当 $l == r$ ，答案就是 $l$ 。

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e6 + 57, INF = 1e9; 
int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f; 
}
 
bool _u;
 
int n, m, cnt;
int a[N], ans[N], c[N];
struct node{
	int x, y, k, id, opt;
}q[N], q1[N], q2[N];
 
void add(int x, int k){
	for(; x <= n; x += x & -x) c[x] += k;
}
 
int ask(int x){
	int res = 0;
	for(; x; x -= x & -x) res += c[x];
	return res;
}
 
void solve(int L, int R, int l, int r){
	if(l > r || L > R) return ;
	if(l == r){
		for(int i = L; i <= R; ++i) if(q[i].opt == 2) ans[q[i].id] = l;
		return ;
	}
	int cnt1 = 0, cnt2 = 0, mid = (l + r) >> 1;
	for(int i = L; i <= R; ++i){
		if(q[i].opt != 2){
			if(q[i].x <= mid) add(q[i].id, q[i].opt), q1[++cnt1] = q[i]; //只需要考虑左边对右边的贡献 
			else q2[++cnt2] = q[i];
		}else{
			int res = ask(q[i].y) - ask(q[i].x - 1);  
			if(res >= q[i].k) q1[++cnt1] = q[i];   
			else q[i].k -= res, q2[++cnt2] = q[i];
		}
	}
	for(int i = 1; i <= cnt1; ++i) if(q1[i].opt != 2) add(q1[i].id, -q1[i].opt);
	for(int i = 1; i <= cnt1; ++i) q[i + L - 1] = q1[i];
	for(int i = 1; i <= cnt2; ++i) q[i + L + cnt1 - 1] = q2[i];
	solve(L, L + cnt1 - 1, l, mid), solve(L + cnt1, R, mid + 1, r);
}
 
bool _v;
 
int main(){
	cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n";
	
	n = read(), m = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read(), q[++cnt] = {a[i], 0, 0, i, 1};
	int num = 0;
	for(int i = 1; i <= m; ++i){
		char ch[5]; scanf("%s", ch + 1); 
		int l, r, x, k;
		if(ch[1] == 'Q'){
			l = read(), r = read(), k = read();
			q[++cnt] = {l, r, k, ++num, 2};
		}else{
			x = read(), k = read();
			q[++cnt] = {a[x], 0, 0, x, -1}, q[++cnt] = {a[x] = k, 0, 0, x, 1};
		}
	}
	solve(1, cnt, 0, INF);
	for(int i = 1; i <= num; ++i) printf("%d\n", ans[i]);
	return 0;
}

P4602 [CTSC2018] 混合果汁

整体二分，将美味度不小于 $m i d$ 的果汁都拎出来，询问最小价钱，分成 $q 1$ 和 $q 2$ 。

 #include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e6 + 57, INF = 1e18; 
int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f; 
}
 
bool _u;
 
int n, m, sum;
int ans[N], c[N], s[N];
struct node{
	int d, p, l;
	bool operator < (const node &A) const{return d > A.d;}
}a[N];
 
struct query{
	int g, L, id;
}b[N], q1[N], q2[N];
 
void add(int x, int k){
	int w = x * k; sum += k;
	for(; x < N; x += x & -x) c[x] += k, s[x] += w;
}
 
int ask(int k){
	if(k > sum) return INF;
	int x = 0, res = 0;
	for(int i = 16; ~i; --i){
		int nx = x + (1 << i);
		if(nx >= N || c[nx] >= k) continue;
		k -= c[nx]; res += s[nx]; x = nx;
	}
	return res + (x + 1) * k;
}
 
void solve(int l, int r, int L, int R){
	if(l > r || L > R) return ;
	if(l == r){
		if(l > n) return ;
		for(int i = L; i <= R; ++i) ans[b[i].id] = a[l].d;
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	for(int i = l; i <= mid; ++i) add(a[i].p, a[i].l);
	int cnt1 = 0, cnt2 = 0;
	for(int i = L; i <= R; ++i){
		int x = ask(b[i].L);
		if(x <= b[i].g) q1[++cnt1] = b[i];
		else q2[++cnt2] = b[i]; 
	}
	for(int i = 1; i <= cnt1; ++i) b[i + L - 1] = q1[i];
	for(int i = 1; i <= cnt2; ++i) b[i + L + cnt1 - 1] = q2[i];
	solve(mid + 1, r, L + cnt1, R);
	for(int i = l; i <= mid; ++i) add(a[i].p, -a[i].l);
	solve(l, mid, L, L + cnt1 - 1);
}
 
bool _v;
 
signed main(){
	cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n";
	
	n = read(), m = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i].d = read(), a[i].p = read(), a[i].l = read();
	sort(a + 1, a + 1 + n);
	for(int i = 1; i <= m; ++i) b[i].g = read(), b[i].L = read(), b[i].id = i;
	memset(ans, -1, sizeof(ans));
	solve(1, n + 1, 1, m);
	for(int i = 1; i <= m; ++i) printf("%lld\n", ans[i]);
	return 0;
}

P3527 [POI2011] MET-Meteors

整体二分，就是因为是环，所以有些点要特殊处理。

 #include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 6e5 + 67; 
int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f; 
}
 
bool _u;
 
int n, m, k;
int p[N], ans[N], c[N];
vector<int> own[N];
struct qry{
	int l, r, a, opt, id;
}q[N], q1[N], q2[N];
 
void add(int x, int k){
	if(!x) return ;
	for(; x <= m; x += x & -x) c[x] += k;
}
 
int ask(int x){
	int res = 0;
	for(; x; x -= x & -x) res += c[x];
	return res;
}
 
void solve(int L, int R, int l, int r){
	if(L > R || l > r) return ;
	if(l == r){
		for(int i = L; i <= R; ++i)
			if(q[i].opt == 2) ans[q[i].id] = l;
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1, cnt1 = 0, cnt2 = 0;
	for(int i = L; i <= R; ++i){
		if(q[i].opt == 2){
			int res = 0;
			for(auto j : own[q[i].id]){
				res += ask(j);
				if(res >= q[i].a) break;
			} 
			if(q[i].a <= res) q1[++cnt1] = q[i];
			else q[i].a -= res, q2[++cnt2] = q[i]; 
		}else{
			if(q[i].id <= mid){
				if(q[i].opt == 1) add(1, q[i].a), add(q[i].r + 1, -q[i].a), add(q[i].l, q[i].a);
				else add(q[i].l, q[i].a), add(q[i].r + 1, -q[i].a);
				q1[++cnt1] = q[i];
			}else q2[++cnt2] = q[i];
		}
	}
	for(int i = L; i <= R; ++i){
		if(q[i].opt != 2 && q[i].id <= mid){
			if(q[i].opt == 1) add(1, -q[i].a), add(q[i].r + 1, q[i].a), add(q[i].l, -q[i].a);
			else add(q[i].l, -q[i].a), add(q[i].r + 1, q[i].a);
		}
	}
	for(int i = 1; i <= cnt1; ++i) q[i + L - 1]= q1[i];
	for(int i = 1; i <= cnt2; ++i) q[i + L + cnt1 - 1] = q2[i];
	solve(L, L + cnt1 - 1, l, mid);
	solve(L + cnt1, R, mid + 1, r);
}
 
bool _v;
 
signed main(){
	cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n";
	
	n = read(), m = read();
	for(int i = 1, x; i <= m; ++i) x = read(), own[x].push_back(i);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = read();
	k = read();
	for(int i = 1; i <= k; ++i){
		q[i].l = read(), q[i].r = read(), q[i].a = read(), q[i].id = i;
		if(q[i].r < q[i].l) q[i].opt = 1; 
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i) q[i + k].a = p[i], q[i + k].opt = 2, q[i + k].id = i;
	solve(1, k + n, 1, k + 1);
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		if(ans[i] != k + 1) printf("%d\n", ans[i]);
		else printf("NIE\n");
	}
 	return 0;
}

P1527 [国家集训队] 矩阵乘法

维护改为二维树状数组维护前缀和即可。

 #include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 5e2 + 57, M = 6e5 + 67; 
int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f; 
}
 
bool _u;
 
int n, m, cnt, minn = 1e9, maxn;
struct qry{
	int a1, b1, a2, b2, k, id;
}q[M], q1[M], q2[M];
int c[N][N], ans[M];
 
void add(int x, int y, int v){
	for(int i = x; i <= n; i += i & -i)
		for(int j = y; j <= n; j += j & -j)
			c[i][j] += v;
} 
 
int ask(int x, int y){
	int res = 0;
	for(int i = x; i; i -= i & -i)
		for(int j = y; j; j -= j & -j)
			res += c[i][j];
	return res;
}
 
void solve(int l, int r, int L, int R){
	if(l > r || L > R) return ;
	if(l == r){
		for(int i = L; i <= R; ++i) ans[q[i].id] = l;
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	int cnt1 = 0, cnt2 = 0;
	for(int i = L; i <= R; ++i){
		if(q[i].id == 0) {
			if(q[i].k <= mid) add(q[i].a1, q[i].b1, 1), q1[++cnt1] = q[i];
			else q2[++cnt2] = q[i];
		}else{
			int tmp = ask(q[i].a2, q[i].b2) - ask(q[i].a1 - 1, q[i].b2) - ask(q[i].a2, q[i].b1 - 1) + ask(q[i].a1 - 1, q[i].b1 - 1);
			if(tmp >= q[i].k) q1[++cnt1] = q[i];
			else q[i].k -= tmp, q2[++cnt2] = q[i];
		}
	}
	for(int i = 1; i <= cnt1; ++i) q[L + i - 1] = q1[i];
	for(int i = 1; i <= cnt2; ++i) q[L + cnt1 + i - 1] = q2[i];
	for(int i = 1; i <= cnt1; ++i) if(!q1[i].id && q1[i].k <= mid) add(q1[i].a1, q1[i].b1, -1);
	solve(l, mid, L, L + cnt1 - 1);
	solve(mid + 1, r, L + cnt1, R);
}
 
bool _v;
 
signed main(){
	cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n";
	
	n = read(), m = read();
	for(int i = 1, x; i <= n; ++i)
		for(int j = 1; j <= n; ++j) q[++cnt] = {i, j, 0, 0, x = read(), 0}, minn = min(minn, x), maxn = max(maxn, x);
	for(int i = 1, a1, a2, b1, b2, k; i <= m; ++i)
		q[++cnt] = {a1 = read(), b1 = read(), a2 = read(), b2 = read(), k = read(), i};
	solve(0, 1e9, 1, cnt);
	for(int i = 1; i <= m; ++i) printf("%d\n", ans[i]);
 	return 0;
}

参考: https://www.cnblogs.com/guanlexiangfan/p/15473204.html

上一篇【整理】初赛知识

下一篇【学习笔记】(27) 整体 DP

本文作者：南风未起

本文链接：https://www.cnblogs.com/jiangchen4122/p/17694555.html

posted @ 2023-09-15 21:59 Aurora-JC 阅读(93) 评论(0) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

登录后才能查看或发表评论，立即登录或者逛逛博客园首页

南风未起

【学习笔记】(26) cdq 分治与整体二分

cdq 分治

基本思想

应用

1.解决和点对有关的问题

P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

2.优化 1D 动态规划转移

流程

P2487 [SDOI2011] 拦截导弹

3.动态问题转化为静态问题

P3206 [HNOI2010] 城市建设

整体二分

带修区间第 k 小

P2617 Dynamic Rankings

P4602 [CTSC2018] 混合果汁

P3527 [POI2011] MET-Meteors

P1527 [国家集训队] 矩阵乘法

公告

常用链接

我的标签

随笔分类

随笔档案

阅读排行榜

评论排行榜

推荐排行榜

最新评论

	#include<bits/stdc++.h>
	#define N 200005
	using namespace std;
	int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'\|\|ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
	}
	int n,k,cnt,nn;
	int c[N],ans[N];
	struct obj{
	int a,b,c;
	int cnt,id,ans;
	}s1[N],s2[N];
	bool cmp1(obj x,obj y){
	return x.a==y.a?(x.b==y.b?x.c<y.c:x.b<y.b):x.a<y.a;
	}
	bool cmp2(obj x,obj y){
	return x.b==y.b?x.c<y.c:x.b<y.b;
	}
	void add(int x,int delta){
	for(;x<=k;x+=x&-x) c[x]+=delta;
	}
	int ask(int x){
	int sum=0;
	for(;x;x-=x&-x) sum+=c[x];
	return sum;
	}
	void cdq(int l,int r){
	if(l==r) return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	cdq(l,mid);
	cdq(mid+1,r);
	sort(s2+l,s2+1+mid,cmp2);
	sort(s2+mid+1,s2+r+1,cmp2);
	int i=mid+1,j=l;
	for(;i<=r;i++){
	while(s2[i].b>=s2[j].b&&j<=mid){
	add(s2[j].c,s2[j].cnt);
	j++;
	}
	s2[i].ans+=ask(s2[i].c);
	}
	for(int i=l;i<j;i++) add(s2[i].c,-s2[i].cnt);
	}
	int main(){
	n=read(),k=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
	s1[i].a=read(),s1[i].b=read(),s1[i].c=read();
	s1[i].id=i;
	}
	sort(s1+1,s1+1+n,cmp1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
	cnt++;
	if(s1[i].a!=s1[i+1].a\|\|s1[i].b!=s1[i+1].b\|\|s1[i].c!=s1[i+1].c){
	s2[++nn].a=s1[i].a,s2[nn].b=s1[i].b,s2[nn].c=s1[i].c,s2[nn].id=s1[i].id,s2[nn].cnt=cnt;
	cnt=0;
	}
	}
	cdq(1,nn);
	for(int i=1;i<=nn;i++) ans[s2[i].ans+s2[i].cnt-1]+=s2[i].cnt;
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	#define db double
	#define ll long long
	using namespace std;
	const int N = 5e4 + 67;
	int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' \|\| ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
	}

	bool _u;

	int n;
	struct node{
	int x, y, z;
	ll dp;
	db f;
	}a[N];

	ll dp1[N], dp2[N], c1[N];
	db f1[N], f2[N], c2[N];

	bool cmp1(node a, node b){return a.x == b.x ? (a.y == b.y ? a.z < b.z : a.y > b.y) : a.x > b.x;}
	bool cmp2(node a, node b){return a.x == b.x ? (a.y == b.y ? a.z < b.z : a.y < b.y) : a.x < b.x;}
	bool cmp3(node a, node b){return a.y > b.y;}
	bool cmp4(node a, node b){return a.y < b.y;}

	void modify(int x, ll dp, db f){
	for(; x <= n; x += x & -x){
	if(c1[x] < dp) c1[x] = dp, c2[x] = f;
	else if(c1[x] == dp) c2[x] += f;
	}
	}

	ll query1(int x){
	ll res = 0;
	for(; x; x -= x & -x) res = max(res, c1[x]);
	return res;
	}

	db query2(int x, ll dp){
	db res = 0;
	for(; x; x -= x & -x) if(c1[x] == dp) res += c2[x];
	return res;
	}

	void del(int x){
	for(; x <= n; x += x & -x) c1[x] = c2[x] = 0;
	}

	bool check(int i, int j, int opt){
	if(opt == 1) return a[i].y >= a[j].y;
	else return a[i].y <= a[j].y;
	}

	void merge_sort(int l, int r, int opt){
	int mid = (l + r) >> 1, i = l, j = mid + 1;
	while(i <= mid && j <= r){
	if(check(i, j, opt)) modify(a[i].z, a[i].dp, a[i].f), ++i;
	else{
	int val = query1(a[j].z) + 1;
	if(a[j].dp < val) a[j].dp = val, a[j].f = query2(a[j].z, val - 1);
	else if(a[j].dp == val) a[j].f += query2(a[j].z, val - 1);
	++j;
	}
	}
	while(j <= r){
	int val = query1(a[j].z) + 1;
	if(a[j].dp < val) a[j].dp = val, a[j].f = query2(a[j].z, val - 1);
	else if(a[j].dp == val) a[j].f += query2(a[j].z, val - 1);
	++j;
	}
	for(int _ = l; _ < i; ++_) del(a[_].z);
	}

	void cdq(int l, int r, int opt){
	if(l == r) return ;
	int mid = (l + r) >> 1;
	cdq(l, mid, opt);
	if(opt == 1) sort(a + l, a + mid + 1, cmp3), sort(a + mid + 1, a + r + 1, cmp3);
	else sort(a + l, a + mid + 1, cmp4), sort(a + mid + 1, a + r + 1, cmp4);
	merge_sort(l, r, opt);
	if(opt == 1) sort(a + mid + 1, a + r + 1, cmp1);
	else sort(a + mid + 1, a + r + 1, cmp2);
	cdq(mid + 1, r, opt);
	}

	bool _v;

	signed main(){
	cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n";

	// freopen("3.in", "r", stdin);
	// freopen("1.out", "w", stdout);
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
	a[i].x = read(), a[i].y = read(), a[i].z = i;
	a[i].f = a[i].dp = 1;
	}
	sort(a + 1, a + 1 + n, cmp1);
	cdq(1, n, 1);
	ll ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) dp1[a[i].z] = a[i].dp, f1[a[i].z] = a[i].f, ans = max(ans, dp1[a[i].z]);
	printf("%lld\n", ans);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i].z = n - a[i].z + 1, a[i].dp = a[i].f = 1;
	sort(a + 1, a + 1 + n, cmp2);
	cdq(1, n, 2);
	db k = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
	dp2[n - a[i].z + 1] = a[i].dp, f2[n - a[i].z + 1] = a[i].f;
	if(dp2[n - a[i].z + 1] == ans) k += f2[n - a[i].z + 1];
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
	if(dp1[i] + dp2[i] == ans + 1) printf("%.5lf", f1[i] * f2[i] / k);
	else printf("0.00000");
	if(i < n) printf(" ");
	}
	puts("");
	return 0;
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	const int N = 2e6 + 57, INF = 1e9;
	int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' \|\| ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
	}

	bool _u;

	int n, m, cnt;
	int a[N], ans[N], c[N];
	struct node{
	int x, y, k, id, opt;
	}q[N], q1[N], q2[N];

	void add(int x, int k){
	for(; x <= n; x += x & -x) c[x] += k;
	}

	int ask(int x){
	int res = 0;
	for(; x; x -= x & -x) res += c[x];
	return res;
	}

	void solve(int L, int R, int l, int r){
	if(l > r \|\| L > R) return ;
	if(l == r){
	for(int i = L; i <= R; ++i) if(q[i].opt == 2) ans[q[i].id] = l;
	return ;
	}
	int cnt1 = 0, cnt2 = 0, mid = (l + r) >> 1;
	for(int i = L; i <= R; ++i){
	if(q[i].opt != 2){
	if(q[i].x <= mid) add(q[i].id, q[i].opt), q1[++cnt1] = q[i]; //只需要考虑左边对右边的贡献
	else q2[++cnt2] = q[i];
	}else{
	int res = ask(q[i].y) - ask(q[i].x - 1);
	if(res >= q[i].k) q1[++cnt1] = q[i];
	else q[i].k -= res, q2[++cnt2] = q[i];
	}
	}
	for(int i = 1; i <= cnt1; ++i) if(q1[i].opt != 2) add(q1[i].id, -q1[i].opt);
	for(int i = 1; i <= cnt1; ++i) q[i + L - 1] = q1[i];
	for(int i = 1; i <= cnt2; ++i) q[i + L + cnt1 - 1] = q2[i];
	solve(L, L + cnt1 - 1, l, mid), solve(L + cnt1, R, mid + 1, r);
	}

	bool _v;

	int main(){
	cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n";

	n = read(), m = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read(), q[++cnt] = {a[i], 0, 0, i, 1};
	int num = 0;
	for(int i = 1; i <= m; ++i){
	char ch[5]; scanf("%s", ch + 1);
	int l, r, x, k;
	if(ch[1] == 'Q'){
	l = read(), r = read(), k = read();
	q[++cnt] = {l, r, k, ++num, 2};
	}else{
	x = read(), k = read();
	q[++cnt] = {a[x], 0, 0, x, -1}, q[++cnt] = {a[x] = k, 0, 0, x, 1};
	}
	}
	solve(1, cnt, 0, INF);
	for(int i = 1; i <= num; ++i) printf("%d\n", ans[i]);
	return 0;
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	#define int long long
	using namespace std;
	const int N = 1e6 + 57, INF = 1e18;
	int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' \|\| ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
	}

	bool _u;

	int n, m, sum;
	int ans[N], c[N], s[N];
	struct node{
	int d, p, l;
	bool operator < (const node &A) const{return d > A.d;}
	}a[N];

	struct query{
	int g, L, id;
	}b[N], q1[N], q2[N];

	void add(int x, int k){
	int w = x * k; sum += k;
	for(; x < N; x += x & -x) c[x] += k, s[x] += w;
	}

	int ask(int k){
	if(k > sum) return INF;
	int x = 0, res = 0;
	for(int i = 16; ~i; --i){
	int nx = x + (1 << i);
	if(nx >= N \|\| c[nx] >= k) continue;
	k -= c[nx]; res += s[nx]; x = nx;
	}
	return res + (x + 1) * k;
	}

	void solve(int l, int r, int L, int R){
	if(l > r \|\| L > R) return ;
	if(l == r){
	if(l > n) return ;
	for(int i = L; i <= R; ++i) ans[b[i].id] = a[l].d;
	return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	for(int i = l; i <= mid; ++i) add(a[i].p, a[i].l);
	int cnt1 = 0, cnt2 = 0;
	for(int i = L; i <= R; ++i){
	int x = ask(b[i].L);
	if(x <= b[i].g) q1[++cnt1] = b[i];
	else q2[++cnt2] = b[i];
	}
	for(int i = 1; i <= cnt1; ++i) b[i + L - 1] = q1[i];
	for(int i = 1; i <= cnt2; ++i) b[i + L + cnt1 - 1] = q2[i];
	solve(mid + 1, r, L + cnt1, R);
	for(int i = l; i <= mid; ++i) add(a[i].p, -a[i].l);
	solve(l, mid, L, L + cnt1 - 1);
	}

	bool _v;

	signed main(){
	cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n";

	n = read(), m = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i].d = read(), a[i].p = read(), a[i].l = read();
	sort(a + 1, a + 1 + n);
	for(int i = 1; i <= m; ++i) b[i].g = read(), b[i].L = read(), b[i].id = i;
	memset(ans, -1, sizeof(ans));
	solve(1, n + 1, 1, m);
	for(int i = 1; i <= m; ++i) printf("%lld\n", ans[i]);
	return 0;
	}