【学习笔记】(24) 虚树
虚树常常被使用在树形dp中,当一次询问仅仅涉及到整颗树中少量结点时，为每次询问都对整棵树进行dp在时间上是不可接受的。此时，我们建立一颗仅仅包含部分关键结点的虚树，将非关键点构成的链简化成边或是剪去，在虚树上进行dp。
虚树包含所有的询问点及它们之间的lca。显然虚树的叶子节点必然是询问点，因此对于某次含有\(k\)个点的询问，虚树最多有\(k\)个叶子结点，从而整颗虚树最多只有\(2k-1\)个结点（这会在虚树变成二叉树形态时达到）。
最右链是虚树构建的一条分界线，表明其左侧部分的虚树已经完成构建。我们使用栈来维护所谓的最右链，top 为栈顶位置。值得注意的是，最右链上的边并没有被加入虚树，这是因为在接下来的过程中随时会有某个lca插到最右链中。
初始无条件将第一个询问点加入栈中。
将接下来的所有询问点顺次加入，假设该询问点为\(now\)，\(lc\) 为该点和栈顶点的最近公共祖先即\(lc=lca(sta[top],now)\)。
由于\(lc\)是\(sta[top]\)的祖先，\(lc\)必然在我们维护的最右链上。
考虑\(lc\)和\(sta[top]\)及栈中第二个元素\(stak[top-1]\)的关系。
- \(\Large lc = sta[top]\)
这时说明 \(now\) 在 \(sta[top]\) 的子树中，只要将 \(now\) 入栈即可。
- \(\Large lc 在 sta[top] 和 sta[top - 1] 之间\)
显然，此时最右链的末端从 sta[top-1]->sta[top] 变成了 sta[top−1]−>lc−>now，我们需要做的，首先是把边lc-stak[top]加入虚树，然后，把 sta[top]出栈，把lc和now入栈。
- \(\Large lc = sta[top - 1]\)
这种情况和第二种情况大同小异，唯一的区别就是\(lc\)不用入栈了。
- \(\Large d[lc] <= d[sta[top-1]]\)
这种情况就一直 sta[top] 与 sta[top-1] 连边，然后弹出栈顶，直到 \(d[lc] > d[sta[top-1]]\) ，在就可以转成上面的情况。
综上，得出以下代码
st[top = 1] = a[1];
for(int i = 2; i <= k; ++i){
int lc = lca(a[i], st[top]);
while(top > 1 && dep[lc] <= dep[st[top - 1]]){
trans(st[top - 1], st[top]);
top--;
}
if(lc != st[top]){
trans(lc, st[top]), st[top] = lc;
}
st[++top] = a[i];
}
一些结论与技巧
- 点集 S 的虚树边权和等于所有时间戳 循环相邻 的节点距离之和除以 2。换言之，将 S 按时间戳从小到大排序得到序列 a0,a2,⋯,a|S|−1，则虚树边权和为 \(∑\limits_{i=0}^{|S|}dist(a_i,a_{(i+1)} mod |S|)\) 除以 2。考虑每条边对和式的贡献，我们发现一条虚树上的边只会被正反各经过一次，否则就和时间戳的定义矛盾了。
- 当只对虚树进行一遍自底向上的 DP 时，不需要显式建出虚树后 dfs，而是在构建虚树的过程中直接转移，因为构建虚树时每条边被加入的顺序就是回溯顺序。
例题
Ⅰ. P2495 [SDOI2011] 消耗战
将每次的 \(k\) 个点拎出来建立虚树，再dp。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define min(a, b) (a < b ? a : b)
using namespace std;
const int N = 2.5e5 + 67;
int read(){
int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
return x * f;
}
bool _u;
int n, m, k, tot, cnt, top;
int hd[N], to[N << 1], nxt[N << 1], edge[N << 1];
int f[N][18], d[N], dfn[N], a[N];
int st[N];
ll minn[N];
bool vis[N];
bool cmp(int x, int y){return dfn[x] < dfn[y];}
void add(int u, int v, int w){
to[++tot] = v, nxt[tot] = hd[u], hd[u] = tot, edge[tot] = w;
}
void add1(int u, int v){
to[++tot] = v, nxt[tot] = hd[u], hd[u] = tot;
}
void dfs(int x, int fa){
f[x][0] = fa, d[x] = d[fa] + 1, dfn[x] = ++cnt;
for(int i = 1; i <= 17; ++i) f[x][i] = f[f[x][i - 1]][i - 1];
for(int i = hd[x]; i; i = nxt[i]){
int y = to[i]; if(y == fa) continue;
minn[y] = min(minn[x], edge[i]), dfs(y, x);
}
return ;
}
int lca(int x, int y){
if(d[x] < d[y]) swap(x, y);
for(int i = 17; i >= 0; --i) if(d[f[x][i]] >= d[y]) x = f[x][i];
if(x == y) return x;
for(int i = 17; i >= 0; --i) if(f[x][i] != f[y][i]) x = f[x][i], y = f[y][i];
return f[x][0];
}
ll dp(int x){
ll sum = 0;
for(int i = hd[x]; i; i = nxt[i]) sum += dp(to[i]);
hd[x] = 0;
if(vis[x]){
vis[x] = 0;
return minn[x];
}
return min(minn[x], sum);
}
int main(){
n = read();
for(int i = 1; i < n; ++i){
int u = read(), v = read(), w = read();
add(u, v, w), add(v, u, w);
}
minn[1] = 2e18, dfs(1, 0);
m = read(); memset(hd, 0, sizeof(hd));
while(m--){
tot = 0, k = read();
for(int i = 1; i <= k; ++i) a[i] = read(), vis[a[i]] = 1;
sort(a + 1, a + 1 + k, cmp);
st[top = 1] = a[1];
for(int i = 2; i <= k; ++i){
int cur = a[i], lc = lca(cur, st[top]);
while(d[lc] < d[st[top - 1]]) add1(st[top - 1], st[top]), top--;
if(lc != st[top]){
add1(lc, st[top]);
if(lc != st[top - 1]) st[top] = lc;
else --top;
}
st[++top] = cur;
}
while(--top) add1(st[top], st[top + 1]);
printf("%lld\n", dp(st[1]));
}
bool _v;
// fprintf(stderr, "%.3lf\n", abs(&_u - &_v) / 1048576.0);
return 0;
}
Ⅱ. P4103 [HEOI2014] 大工程
建出虚树后进行 DP，维护子树内关键点数量 \(sz\)，距离最大值 \(mx\) 个距离最小值 \(mn\)，注意若当前节点为关键点则最小值为 \(0\)。每次转移 \((i,j)\) 则用 \(mn_i+mn_j+d\) 更新第二问答案，用 \(mx_i+mx_j+d\) 更新第三问答案。
对于第一问，考虑每条边 \(i→j\)
被计算了多少次，其中 \(i\) 是 \(j\) 在虚树上的父亲。容易得到 \(sz_j×(k−sz_j)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define TIME 1e3 * clock() / CLOCKS_PER_SEC
using namespace std;
const int N = 1e6 + 67;
int read(){
int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
return x * f;
}
bool _u;
int n, q, tot, cnt;
int hd[N], to[N << 1], nxt[N << 1];
int dep[N], mi[20][N], lg[N], dfn[N];
int a[N], mn[N], mx[N], sz[N];
void add(int u, int v){
to[++tot] = v, nxt[tot] = hd[u], hd[u] = tot;
}
void dfs(int x, int fa){
dep[x] = dep[fa] + 1;
mi[0][dfn[x] = ++cnt] = fa;
for(int i = hd[x]; i; i = nxt[i]){
int y = to[i]; if(y == fa) continue;
dfs(y, x);
}
}
int get_min(int u, int v){return dep[u] < dep[v] ? u : v;}
int lca(int u, int v){
if(u == v) return u;
if((u = dfn[u]) > (v = dfn[v])) swap(u, v);
int d = lg[v - u++];
return get_min(mi[d][u], mi[d][v - (1 << d) + 1]);
}
bool _v;
int main(){
// cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n" << endl;
n = read();
for(int i = 1; i < n; ++i){
int u = read(), v = read();
add(u, v), add(v, u);
}
dfs(1, 0);
for(int i = 2; i <= n; ++i) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
for(int i = 1; i <= lg[n]; ++i)
for(int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; ++j)
mi[i][j] = get_min(mi[i - 1][j], mi[i - 1][j + (1 << i - 1)]);
q = read();
while(q--){
int k = read();
for(int i = 1; i <= k; ++i)
a[i] = read(), sz[a[i]] = 1, mn[a[i]] = mx[a[i]] = 0;
sort(a + 1, a + 1 + k, [&](int x, int y){return dfn[x] < dfn[y];});
static int st[N], top = 0;
st[top = 1] = a[1];
ll ans1 = 0; int ans2 = 1e8, ans3 = 0;
auto trans = [&](int u, int v){
int d = dep[v] - dep[u];
ans1 += 1ll * sz[v] * (k - sz[v]) * d;
ans2 = min(ans2, mn[u] + mn[v] + d);
mn[u] = min(mn[u], mn[v] + d);
ans3 = max(ans3, mx[u] + mx[v] + d);
mx[u] = max(mx[u], mx[v] + d);
sz[u] += sz[v];
};
for(int i = 2; i <= k; ++i){
int lc = lca(a[i], st[top]);
while(top > 1 && dep[lc] <= dep[st[top - 1]]){
trans(st[top - 1], st[top]);
top--;
}
if(lc != st[top]){
mn[lc] = 1e8, mx[lc] = 0, sz[lc] = 0;
trans(lc, st[top]), st[top] = lc;
}
st[++top] = a[i];
}
for(int i = top - 1; i; --i) trans(st[i], st[i + 1]);
printf("%lld %d %d\n", ans1, ans2, ans3);
}
// cerr << TIME << " ms" << endl;
return 0;
}
Ⅲ.CF986E Prince's Problem
考虑值域内所有质数 \(p\)，将点权 \(a_i\) 或询问权值 \(v_j\) 含质因数 $p $ 的 \(i\) 或 \(x_j,y_j\) 拎出来建虚树，然后在上面树上差分即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mp make_pair
#define pii pair<int, int>
#define pb push_back
using namespace std;
const int N = 1e6 + 67, mod = 1e9 + 7, M = 1e7;
int read(){
int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
return x * f;
}
bool _u;
int n, q, cnt;
int tot, hd[N], to[N << 1], nxt[N << 1];
int dep[N], mi[25][N], lg[N], dfn[N], ans[N], fa[N];
int st[N], top, p[N], qx[N], qy[N], s[N][25];
int ct, prim[M], bel[M];
vector<pii> buc[N], qr[N];
bool v[M];
void add(int u, int v){
to[++tot] = v, nxt[tot] = hd[u], hd[u] = tot;
}
void init(){
for(int i = 2; i <= M; ++i){
if(!v[i]) prim[++ct] = i, bel[i] = ct;
for(int j = 1; j <= ct; ++j){
if(i > M / prim[j]) break;
v[i * prim[j]] = 1;
if(i % prim[j] == 0) break;
}
}
}
int qsm(int a, int b){
int res = 1;
for(; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mod) if(b & 1) res = 1ll * res * a % mod;
return res;
}
void dfs(int x, int ff){
dep[x] = dep[ff] + 1, mi[0][dfn[x] = ++cnt] = ff;
for(int i = hd[x]; i; i = nxt[i]){
int y = to[i]; if(y == ff) continue;
dfs(y, x);
}
}
int get_min(int u, int v){return dep[u] < dep[v] ? u : v;}
int lca(int u, int v){
if(u == v) return u;
if((u = dfn[u]) > (v = dfn[v])) swap(u, v);
int d = lg[v - u++];
return get_min(mi[d][u], mi[d][v - (1 << d) + 1]);
}
bool cmp(int x, int y){return dfn[x] < dfn[y];}
bool _v;
int main(){
// cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n" << endl;
init(), n = read();
for(int i = 1; i < n; ++i){
int u = read(), v = read();
add(u, v), add(v, u);
}
dfs(1, 0);
for(int i = 2; i <= n; ++i) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
for(int i = 1; i <= lg[n]; ++i)
for(int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; ++j)
mi[i][j] = get_min(mi[i - 1][j], mi[i - 1][j + (1 << i - 1)]);
for(int i = 1; i <= n; ++i){
int x = read();
for(int j = 1; j <= ct && 1ll * prim[j] * prim[j] <= x; ++j){
if(x % prim[j] == 0){
int num = 0;
while(x % prim[j] == 0) x /= prim[j], ++num;
buc[j].pb(mp(i, num));
}
}
if(x > 1) buc[bel[x]].pb(mp(i, 1));
}
q = read();
for(int i = 1; i <= q; ++i){
ans[i] = 1; qx[i] = read(), qy[i] = read();
int x = read();
for(int j = 1; j <= ct && 1ll * prim[j] * prim[j] <= x; ++j){
if(x % prim[j] == 0){
int num = 0;
while(x % prim[j] == 0) x /= prim[j], ++num;
qr[j].pb(mp(i, num));
}
}
if(x > 1) qr[bel[x]].pb(mp(i, 1));
}
for(int _ = 1; _ <= ct; ++_){
int num = 0, mx = 0;
for(auto it : buc[_]) p[++num] = it.first, mx = max(mx, it.second);
for(auto it : qr[_]) p[++num] = qx[it.first], p[++num] = qy[it.first];
sort(p + 1, p + 1 + num, cmp); num = unique(p + 1, p + 1 + num) - p - 1;
st[top = 1] = p[1]; int nn = num;
for(int i = 2; i <= num; ++i){
int lc = lca(st[top], p[i]);
while(top > 1 && dep[lc] <= dep[st[top - 1]]) fa[st[top]] = st[top - 1], --top;
if(lc != st[top]) fa[st[top]] = p[++nn] = lc, st[top] = lc;
st[++top] = p[i];
}
fa[st[1]] = 0; for(int i = top - 1; i; --i) fa[st[i + 1]] = st[i];
sort(p + 1, p + 1 + nn, cmp);
for(int i = 1; i <= nn; ++i) memset(s[p[i]], 0, sizeof(s[p[i]]));
for(auto it : buc[_]) s[it.first][it.second] = 1;
for(int i = 1; i <= nn; ++i)
for(int j = 1; j <= mx; ++j)
s[p[i]][j] += s[fa[p[i]]][j];
for(auto it : qr[_]){
int pw = 0, i = it.first, lc = lca(qx[i], qy[i]);
for(int j = 1; j <= mx; ++j)
pw += min(j, it.second) * (s[qx[i]][j] + s[qy[i]][j] - s[lc][j] - s[fa[lc]][j]);
ans[i] = 1ll * ans[i] * qsm(prim[_], pw) % mod;
}
}
for(int i = 1; i <= q; ++i) printf("%d\n", ans[i]);
return 0;
}
Ⅳ.CF639F Bear and Chemistry
对原图进行边双缩点。
\(∑n_i,∑m_i≤3×10^5\)
自然考虑对每组询问相关的所有点建出虚树。若图不连通，则可能为虚树森林。
因虚树保留了关键点在原图上的相对形态，故直接在虚树上添加新增的边，对新图检查所有 \(V_i\)
是否边双连通即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define pii pair<int, int>
#define mp make_pair
using namespace std;
const int N = 3e5 + 67;
int read(){
int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
return x * f;
}
struct BCC{
int dn, dfn[N], low[N], cn, col[N], top, stc[N];
int tot = 1, fr[N << 1], hd[N], to[N << 1], nxt[N << 1];
bool in[N];
vector<int> S;
void add(int u, int v){
if(!in[u]) in[u] = 1, S.pb(u);
to[++tot] = v, fr[tot] = u, nxt[tot] = hd[u], hd[u] = tot;
}
void clear(){
tot = 1, cn = dn = 0;
for(auto it : S) hd[it] = in[it] = dfn[it] = 0;
S.clear();
}
void tarjan(int x, int ff){
if(!in[x]) in[x] = 1, S.pb(x);
low[x] = dfn[x] = ++dn, stc[++top] = x;
for(int i = hd[x]; i; i = nxt[i]){
int y = to[i];
if(i == (ff ^ 1)) continue;
if(!dfn[y]) {
tarjan(y, i);
low[x] = min(low[x], low[y]);
if(low[y] > dfn[x]){
++cn;
for(int u = 0; u != y; ) col[u = stc[top--]] = cn;
}
}else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
}
if(!ff){
++cn;
while(top) col[stc[top--]] = cn;
}
}
}g, h;
bool _v;
vector<int> e[N];
int n, m, q, R, dn;
int bel[N], lg[N], mi[25][N], dep[N], dfn[N], comp[N];
int top, stc[N], p[N * 3];
map<pii, bool> H;
int get_min(int x, int y){return dep[x] < dep[y] ? x : y;}
int lca(int u, int v){
if(u == v) return u;
if((u = dfn[u]) > (v = dfn[v])) swap(u, v);
int d = lg[v - u++];
return get_min(mi[d][u], mi[d][v - (1 << d) + 1]);
}
void dfs(int x, int ff){
dfn[x] = ++dn, dep[x] = dep[ff] + 1, mi[0][dn] = ff;
for(auto y : e[x]) if(ff != y) dfs(y, x);
}
int rot(int x){return (x + R - 1) % n + 1;}
bool _u;
int main(){
cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n";
n = read(), m = read(), q = read();
for(int i = 1; i <= m; ++i){
int u = read(), v = read();
g.add(u, v), g.add(v, u);
}
for(int i = 1, c = 0; i <= n; ++i){
if(!g.dfn[i]) {
int lst = g.cn;
g.tarjan(i, 0), ++c;
for(int j = lst + 1; j <= g.cn; ++j) comp[j] = c;
}
}
memcpy(bel, g.col, sizeof(bel));
for(int i = 2; i <= g.tot; ++i){
if(bel[g.fr[i]] != bel[g.to[i]] && !H[mp(bel[g.fr[i]], bel[g.to[i]])]){
e[bel[g.fr[i]]].push_back(bel[g.to[i]]);
H[mp(bel[g.fr[i]], bel[g.to[i]])] = 1;
}
}
for(int i = 2; i <= g.cn; ++i) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
for(int i = 1; i <= g.cn; ++i) if(!dfn[i]) dfs(i, 0);
for(int i = 1; i <= lg[g.cn]; ++i)
for(int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= g.cn; ++j)
mi[i][j] = get_min(mi[i - 1][j], mi[i - 1][j + (1 << i - 1)]);
for(int _ = 1; _ <= q; ++_){
int nn = read(), mm = read(), cnt = 0;
static int V[N], u[N], v[N];
for(int i = 1; i <= nn; ++i) V[i] = p[++cnt] = bel[rot(read())];
for(int i = 1; i <= mm; ++i){
u[i] = p[++cnt] = bel[rot(read())];
v[i] = p[++cnt] = bel[rot(read())];
}
sort(p + 1, p + 1 + cnt), cnt = unique(p + 1, p + 1 + cnt) - p - 1;
sort(p + 1, p + 1 + cnt, [&](int x, int y){return comp[x] < comp[y];});
h.clear();
for(int i = 1; i <= cnt; ++i){
int r = i;
while(r < cnt && comp[p[r + 1]] == comp[p[r]]) ++r;
sort(p + i, p + 1 + r, [&](int x, int y){return dfn[x] < dfn[y];});
stc[top = 1] = p[i];
for(int j = i + 1; j <= r; ++j){
int lc = lca(stc[top], p[j]);
while(top > 1 && dep[lc] <= dep[stc[top - 1]]) h.add(stc[top], stc[top - 1]), h.add(stc[top - 1], stc[top]), top--;
if(lc != stc[top]) h.add(lc, stc[top]), h.add(stc[top], lc), stc[top] = lc;
stc[++top] = p[j];
}
for(int j = top - 1; j; --j) h.add(stc[j], stc[j + 1]), h.add(stc[j + 1], stc[j]);
i = r;
}
for(int i = 1; i <= mm; ++i) h.add(u[i], v[i]), h.add(v[i], u[i]);
for(int i = 1; i <= nn; ++i) if(!h.dfn[V[i]]) h.tarjan(V[i], 0);
bool flag = 1;
for(int i = 2; i <= nn; ++i) flag &= (h.col[V[i]] == h.col[V[1]]);
if(flag) puts("YES"), R = (R + _) % n;
else puts("NO");
}
return 0;
}
