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📂学习笔记

🔖平衡树

2023-10-06 22:32阅读: 14评论: 0推荐: 0

【学习笔记】(13) 平衡树——记住不的板子

Treap

Splay

无旋Treap——fhq treap

简介

就是没有旋转操作的 Treap，一些性质什么的都跟 Treap 类似。

算法介绍

(1)merge(x,y)

将两棵“有序”（x中元素的权值最大值小于 y 中元素权值最小值）的Treap合并成一棵。

  
int ch[N][2], sz[N], pri[N], val[N];
//val 为权值，pri 为优先级，sz 为子树大小 
int merge(int x, int y){
		if(!x || !y) return x + y;
		//若 x 的优先级小，则它应该新树的根 
		//由于 x 中元素都小于 y 中元素权值，所以合并 x 的右子树和 y 
		if(pri[x] < pri[y]) return ch[x][1] = merge(ch[x][1], y), modify(x), x;
		//另一种情况 
		else return ch[y][0] = merge(x, ch[y][0]), modify(y), y;
	}

(2.1) Split(u, v, x, y)

根据权值 v 将 u 这棵 Treap 分为两棵平衡树 x ,y,其中 x 中元素权值均小于等于 v, y 中元素权值均大于 v。

 void split(int u, int v, int &x, int &y){
	if(!u) return x = y = 0, void();
	if(val[u] <= v) x = u, split(ch[u][1], v, ch[u][1], y); //u 的权值比 v 小，说明 u 以及 u 的左子树都属于 x, 所以递归划分 u 的右子树  
	else y = u, split(ch[u][0], v, x, ch[u][0]); //另一种情况 
	modify(u);
}

(2.2) Split(u, kth, x, y)

跟据子树大小将树 u 分成两棵树 x, y。 x 的大小为 k ,他包含树 u 中权值前 k 小的元素。

 void split(int u, int k, int &x, int &y){
	if(!u) return x = y = 0, void();
	if(k <= sz[ch[u][0]]) y = u, split(ch[u][0], k, x, ch[u][0]); //左子树大小大于 k ，说明 u 以及 u 的右子树都在 y 中， 递归划分左子树 
	else x = u, split(ch[u][1], k - sz[ch[u][0]] - 1, ch[u][1], y);
	modify(u);
}

(3) insert

 int newnode(int v){ // 新建一个权值为 v 的节点 
	sz[++tot] = 1, pri[tot] = rnd(), val[tot] = v;
	return tot;
}
void insert(int k, int v){ //在以 rt 为根的 Treap 中 k 的位置插入一个值为 v 的元素 
	split(rt, k, r1, r2); //根据排名分 
	rt = merge(r1, merge(newnode(v), r2));
}
void insert(int &u, int v){ //在以 u 为根的 Treap 中插入一个值为 v 的元素
	split(u, v, r1, r2); //根据权值分 
	u = merge(r1, merge(newnode(v), r2));
}
//上面两个 split 是不一样的

(4) delte(u,v)

删除 u 为根的 Treap 中权值为 v 的所有元素。

 void del(int &u, int v){
	int L, R, p, q; 
	split(u, v, L, R); //调用 (2.1) 对应代码 
	split(L, v - 1, p, q);
	u = merge(L, merge(p, q));
}

注意：此操作会将所有权值为 v 的元素都删除掉，若只删除一个，则需要求出 v 的排名，在调用 split(u,k,x,y) 以便实现删除一个元素。

(5) modify(u,l,r)

对区间 $[l, r]$ 进行操作，例如区间加、区间翻转等。

 void modify(int &u, int l, int r){
	int L, R, p, q; 
	split(u, l - 1, L, R); //调用 (2.2) 对应代码 
	split(R, r - l + 1, p, q);
	solve(p);
	u = merge(L, merge(p, q));
}

Merge(x, y)

合并两个 “乱序” Treap （即 $x$ 中的元素并不全小于 $y$ 中的元素），也就是合并任意两个 Treap。
复杂度 $O (n \log n)$

 void Merge(int x, int y){
	if(!x || !y) return x + y;
	if(pri[x] > pri[y]) swap(x, y);
	int L, R;
	split(v, val[u], L, R); //调用 (2.1) 对应代码 
	ch[x][0] = Merge(ch[x][0], L);
	ch[x][1] = Merge(ch[x][1], R);
}

其他操作

1.删除

删除一个数 $v$ ：先用 $v$ 按照权值分裂成两棵树 $x, z$ ，再用 $v - 1$ 按照权值将 $x$ 分裂成两棵树 $x, y$ 。此时 $y$ 的所有节点的权值就都是 $v$ 。但是我们只能删一个，因此可以将 $y$ 的左右节点合并起来，这样 $y$ 的节点个数就少了一个。最后再合并回来即可。

 void del(int v){
	int x, y, z;
	split(rt, v, x, z), split(x, v - 1, x, y);
	y = merge(ch[y][0], ch[y][1]);
	rt = merge(merge(x, y), z); 
}

2.第 $k$ 大

查找第 $k$ 大的数：假设当前遍历到节点 $u$ 。若 $k \leq s z_{l s_{u}}$ 则向左儿子递归；若 $k = s z_{l s_{u}} + 1$ 则直接返回 $v a l_{u}$ ；否则向右儿子递归。

 int kth(int u, int k){
	while(1){
		if(k <= sz[ch[u][0]]) u = ch[u][0];
		else if(k == sz[ch[u][0]] + 1) return u;
		else k -= sz[ch[u][0]] + 1, u = ch[u][1]; 
	}
}

3. 前缀/后继

查找 $v$ 的前驱：用 $v - 1$ 按照权值分裂成 $x, y$ ，再找 $x$ 的最大值即可（即 $x$ 的第 $s z_{x}$ 大值）。后继同理。

 //前驱 
split(rt, v - 1, x, y);
printf("%d\n", val[kth(x, sz[x])]);
rt = merge(x, y);
 
//后继 
split(rt, v, x, y);
printf("%d\n", val[tr.kth(y, 1)]);
rt = tr.merge(x, y);

4. 排名

查询 $v$ 的排名：用 $v - 1$ 按照权值分裂成 $x, T$ ，那么答案即为 $s z_{x} + 1$ 。最后合并。

 split(rt, v - 1, x, y);
printf("%d\n", sz[x] + 1);
rt = merge(x, y);

例题

Ⅰ. P3369 【模板】普通平衡树

模板，操作上面都讲过。

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 67;
int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
 
bool _u;
 
mt19937 rnd((unsigned)time(0));
int n, tot, rt;
int ch[N][2], sz[N], pri[N], val[N];
 
struct FHQ{
	void modify(int x){sz[x] = sz[ch[x][0]] + sz[ch[x][1]] + 1;}
	int new_node(int v){sz[++tot] = 1, val[tot] = v, pri[tot] = rnd(); return tot;}
	int merge(int x, int y){
		if(!x || !y) return x + y;
		if(pri[x] < pri[y]) return ch[x][1] = merge(ch[x][1], y), modify(x), x;
		else return ch[y][0] = merge(x, ch[y][0]), modify(y), y;
	} 
	void split(int u, int v, int &x, int &y){
		if(!u) return x = y = 0, void();
		if(val[u] <= v) x = u, split(ch[u][1], v, ch[u][1], y);
		else y = u, split(ch[u][0], v, x, ch[u][0]);
		modify(u);
	}
	int kth(int u, int k){
		while(1){
			if(k <= sz[ch[u][0]]) u = ch[u][0];
			else if(k == sz[ch[u][0]] + 1) return u;
			else k -= sz[ch[u][0]] + 1, u = ch[u][1]; 
		}
	}
}tr;
 
bool _v;
 
int main(){
	cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n";
 
	n = read();
	while(n--){
		int opt = read(), v = read(), x, y, z;
		if(opt == 1){
			tr.split(rt, v, x, y);
			rt = tr.merge(tr.merge(x, tr.new_node(v)), y);
		} else if(opt == 2){
			tr.split(rt, v, x, z), tr.split(x, v - 1, x, y);
			y = tr.merge(ch[y][0], ch[y][1]);
			rt = tr.merge(tr.merge(x, y), z); 
		} else if(opt == 3){
			tr.split(rt, v - 1, x, y);
			printf("%d\n", sz[x] + 1);
			rt = tr.merge(x, y);
		} else if(opt == 4){
			printf("%d\n", val[tr.kth(rt, v)]);
		} else if(opt == 5){
			tr.split(rt, v - 1, x, y);
			printf("%d\n", val[tr.kth(x, sz[x])]);
			rt = tr.merge(x, y);
		} else{
			tr.split(rt, v, x, y);
			printf("%d\n", val[tr.kth(y, 1)]);
			rt = tr.merge(x, y);
		}
	}
	return 0;
}

Ⅱ. P4146 序列终结者

为了写这篇博客，终于把6个月前没过的代码调出来了。

对于区间反转与区间加，直接打标记就行了。

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 51;
int read(){
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
    while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
    return x * f;   
}
mt19937 rnd((unsigned)time(0));
int n, m, rt, r1, r2, tot;
int maxn[N], val[N], add[N], sz[N];
int ch[N][2], pri[N];
bool lazy[N];
int newnode(int v){
    sz[++tot] = 1, pri[tot] = rnd(), val[tot] = v;
    maxn[tot] = v, add[tot] = 0, lazy[tot] = 0;
    return tot;
}
void pushup(int u){
    sz[u] = sz[ch[u][1]] + sz[ch[u][0]] + 1;
    maxn[u] = val[u];
    if(ch[u][1]) maxn[u] = max(maxn[u], maxn[ch[u][1]]);
    if(ch[u][0]) maxn[u] = max(maxn[u], maxn[ch[u][0]]);
}
void pushdown(int x){
    if(lazy[x]){
        lazy[ch[x][1]] ^= 1, lazy[ch[x][0]] ^= 1;
        swap(ch[x][1], ch[x][0]);
        lazy[x] = 0;
    }
    if(add[x]){
        add[ch[x][1]] += add[x], add[ch[x][0]] += add[x];
        val[ch[x][1]] += add[x], val[ch[x][0]] += add[x];
        maxn[ch[x][1]] += add[x], maxn[ch[x][0]] += add[x];
        add[x] = 0;
    }
}
int merge(int x, int y){
    pushdown(x), pushdown(y);
    if(!x || !y) return x + y;
    int u;
    if(pri[x] < pri[y]) u = x, ch[x][1] = merge(ch[x][1], y);
    else u = y, ch[y][0] = merge(x, ch[y][0]);
    pushup(u);
    return u;
}
void split(int u, int k, int &x, int &y){
    if(!u) return x = y = 0, void();
    pushdown(u);
    if(sz[ch[u][0]] >= k) y = u, split(ch[u][0], k, x, ch[u][0]);
    else x = u, split(ch[u][1], k - sz[ch[u][0]] - 1, ch[u][1], y);
    pushup(u);
}
void insert(int k, int v){
    split(rt, k, r1, r2), rt = merge(r1, merge(newnode(v), r2));
}
int main(){
    n = read(), m = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) insert(i - 1, 0);
    while(m--){
    	int opt = read(), l = read(), r = read(), v;
    	int x, y, z;
        if(opt == 1){
            v = read();
            split(rt, l - 1, x, y);
            split(y, r - l + 1, y, z);
            val[y] += v, maxn[y] += v, add[y] += v;
            rt = merge(x, merge(y, z));
        }else if(opt == 2){
            split(rt, l - 1, x, y);
            split(y, r - l + 1, y, z);
            lazy[y] ^= 1;
            rt = merge(x, merge(y, z));
        }else{
            split(rt, l - 1, x, y);
            split(y, r - l + 1, y, z);
            printf("%d\n", maxn[y]);
            rt = merge(x, merge(y, z));
        }
    }
    return 0;
}

Ⅲ. P3960 [NOIP2017 提高组] 列队

开 $n$ 棵动态开点线段树，用于查询最初的 (1 ~ m - 1) 编号情况，开 $n$ 棵平衡树用来维护插入到每行第 $m - 1$ 列的数字，最后再开一颗平衡树用来维护最后一列的编号。

 #include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 3e5 + 67;
int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f; 
}
 
bool _u;
 
mt19937 rnd((unsigned) time(0));
int n, m, q, cn1, cn2;
int rt[N], ch[N << 1][2], rd[N << 1], sz[N << 1], val[N << 1], R[N];
int sum[N << 5], ls[N << 5], rs[N << 5];
 
void pushup(int u){
	sz[u] = sz[ch[u][0]] + sz[ch[u][1]] + 1;
}
 
int newnode(int v){
	int x = ++cn2; 
	return val[x] = v, rd[x] = rnd(), sz[x] = 1, x;
}
 
int merge(int x, int y){
	if(!x || !y) return x | y;
	if(rd[x] > rd[y]) return ch[x][1] = merge(ch[x][1], y), pushup(x), x;
	else return ch[y][0] = merge(x, ch[y][0]), pushup(y), y;
}
 
void split(int u, int k, int &x, int &y){
	if(!u) return x = y = 0, void();
	if(k <= sz[ch[u][0]]) y = u, split(ch[u][0], k, x, ch[u][0]);
	else x = u, split(ch[u][1], k - sz[ch[u][0]] - 1, ch[u][1], y);
	pushup(u);
}
 
void modify(int &u, int l, int r, int p){
	if(!u) u = ++cn1; ++sum[u];
	if(l == r) return ;
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(p <= mid) modify(ls[u], l, mid, p);
	else modify(rs[u], mid + 1, r, p); 
}
 
int query(int u, int l, int r, int k){
	if(l == r) return l;
	int mid = (l + r) >> 1, v = (mid - l + 1) - sum[ls[u]];
	if(k <= v) return query(ls[u], l, mid, k);
	else return query(rs[u], mid + 1, r, k - v); 
} 
 
bool _v;
 
signed main(){
	cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n";
	
	//freopen("1.in", "r", stdin);
	//freopen("1.out", "w", stdout);
	n = read(), m = read(), q = read();
	for(int i = 1, j = m; i <= n; ++i, j += m) rt[0] = merge(rt[0], newnode(j));
	for(int i = 1; i <= q; ++i){
		int x = read(), y = read(), res, a, b, c;
		if(y < m){
			int ss = sz[rt[x]];
			if(y < m - ss){
				int cnt = query(R[x], 1, m - 1, y);
				printf("%lld\n", res = (x - 1) * m + cnt);
				modify(R[x], 1, m - 1, cnt);
			}else{
				split(rt[x], y - (m - ss), a, b), split(b, 1, b, c);
				printf("%lld\n", res = val[b]), rt[x] = merge(a, c);
			}
		}
		split(rt[0], x - 1, a, b), split(b, 1, b, c);
		if(y < m) rt[x] = merge(rt[x], b);
		else printf("%lld\n", res = val[b]);
		rt[0] = merge(a, merge(c, newnode(res)));
	}
	return 0;
}

重量平衡树

上一篇高维前缀和 (SOSDP)

下一篇*【学习笔记】(7) 线段树及高级用法

本文作者：南风未起

本文链接：https://www.cnblogs.com/jiangchen4122/p/17417676.html

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【学习笔记】(13) 平衡树——记住不的板子

Treap

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无旋Treap——fhq treap

简介

算法介绍

(1)merge(x,y)

(2.1) Split(u, v, x, y)

(2.2) Split(u, kth, x, y)

(3) insert

(4) delte(u,v)

(5) modify(u,l,r)

Merge(x, y)

其他操作

1.删除

2.第 $k$ 大

3. 前缀/后继

4. 排名

例题

Ⅰ. P3369 【模板】普通平衡树

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	int ch[N][2], sz[N], pri[N], val[N];
	//val 为权值，pri 为优先级，sz 为子树大小
	int merge(int x, int y){
	if(!x \|\| !y) return x + y;
	//若 x 的优先级小，则它应该新树的根
	//由于 x 中元素都小于 y 中元素权值，所以合并 x 的右子树和 y
	if(pri[x] < pri[y]) return ch[x][1] = merge(ch[x][1], y), modify(x), x;
	//另一种情况
	else return ch[y][0] = merge(x, ch[y][0]), modify(y), y;
	}

	void split(int u, int v, int &x, int &y){
	if(!u) return x = y = 0, void();
	if(val[u] <= v) x = u, split(ch[u][1], v, ch[u][1], y); //u 的权值比 v 小，说明 u 以及 u 的左子树都属于 x, 所以递归划分 u 的右子树
	else y = u, split(ch[u][0], v, x, ch[u][0]); //另一种情况
	modify(u);
	}

	void split(int u, int k, int &x, int &y){
	if(!u) return x = y = 0, void();
	if(k <= sz[ch[u][0]]) y = u, split(ch[u][0], k, x, ch[u][0]); //左子树大小大于 k ，说明 u 以及 u 的右子树都在 y 中，递归划分左子树
	else x = u, split(ch[u][1], k - sz[ch[u][0]] - 1, ch[u][1], y);
	modify(u);
	}

	int newnode(int v){ // 新建一个权值为 v 的节点
	sz[++tot] = 1, pri[tot] = rnd(), val[tot] = v;
	return tot;
	}
	void insert(int k, int v){ //在以 rt 为根的 Treap 中 k 的位置插入一个值为 v 的元素
	split(rt, k, r1, r2); //根据排名分
	rt = merge(r1, merge(newnode(v), r2));
	}
	void insert(int &u, int v){ //在以 u 为根的 Treap 中插入一个值为 v 的元素
	split(u, v, r1, r2); //根据权值分
	u = merge(r1, merge(newnode(v), r2));
	}
	//上面两个 split 是不一样的

	void del(int &u, int v){
	int L, R, p, q;
	split(u, v, L, R); //调用 (2.1) 对应代码
	split(L, v - 1, p, q);
	u = merge(L, merge(p, q));
	}

	void modify(int &u, int l, int r){
	int L, R, p, q;
	split(u, l - 1, L, R); //调用 (2.2) 对应代码
	split(R, r - l + 1, p, q);
	solve(p);
	u = merge(L, merge(p, q));
	}

	void Merge(int x, int y){
	if(!x \|\| !y) return x + y;
	if(pri[x] > pri[y]) swap(x, y);
	int L, R;
	split(v, val[u], L, R); //调用 (2.1) 对应代码
	ch[x][0] = Merge(ch[x][0], L);
	ch[x][1] = Merge(ch[x][1], R);
	}

	void del(int v){
	int x, y, z;
	split(rt, v, x, z), split(x, v - 1, x, y);
	y = merge(ch[y][0], ch[y][1]);
	rt = merge(merge(x, y), z);
	}

	int kth(int u, int k){
	while(1){
	if(k <= sz[ch[u][0]]) u = ch[u][0];
	else if(k == sz[ch[u][0]] + 1) return u;
	else k -= sz[ch[u][0]] + 1, u = ch[u][1];
	}
	}

	//前驱
	split(rt, v - 1, x, y);
	printf("%d\n", val[kth(x, sz[x])]);
	rt = merge(x, y);

	//后继
	split(rt, v, x, y);
	printf("%d\n", val[tr.kth(y, 1)]);
	rt = tr.merge(x, y);

	split(rt, v - 1, x, y);
	printf("%d\n", sz[x] + 1);
	rt = merge(x, y);

	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	const int N = 1e5 + 67;
	int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' \|\| ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
	}

	bool _u;

	mt19937 rnd((unsigned)time(0));
	int n, tot, rt;
	int ch[N][2], sz[N], pri[N], val[N];

	struct FHQ{
	void modify(int x){sz[x] = sz[ch[x][0]] + sz[ch[x][1]] + 1;}
	int new_node(int v){sz[++tot] = 1, val[tot] = v, pri[tot] = rnd(); return tot;}
	int merge(int x, int y){
	if(!x \|\| !y) return x + y;
	if(pri[x] < pri[y]) return ch[x][1] = merge(ch[x][1], y), modify(x), x;
	else return ch[y][0] = merge(x, ch[y][0]), modify(y), y;
	}
	void split(int u, int v, int &x, int &y){
	if(!u) return x = y = 0, void();
	if(val[u] <= v) x = u, split(ch[u][1], v, ch[u][1], y);
	else y = u, split(ch[u][0], v, x, ch[u][0]);
	modify(u);
	}
	int kth(int u, int k){
	while(1){
	if(k <= sz[ch[u][0]]) u = ch[u][0];
	else if(k == sz[ch[u][0]] + 1) return u;
	else k -= sz[ch[u][0]] + 1, u = ch[u][1];
	}
	}
	}tr;

	bool _v;

	int main(){
	cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n";

	n = read();
	while(n--){
	int opt = read(), v = read(), x, y, z;
	if(opt == 1){
	tr.split(rt, v, x, y);
	rt = tr.merge(tr.merge(x, tr.new_node(v)), y);
	} else if(opt == 2){
	tr.split(rt, v, x, z), tr.split(x, v - 1, x, y);
	y = tr.merge(ch[y][0], ch[y][1]);
	rt = tr.merge(tr.merge(x, y), z);
	} else if(opt == 3){
	tr.split(rt, v - 1, x, y);
	printf("%d\n", sz[x] + 1);
	rt = tr.merge(x, y);
	} else if(opt == 4){
	printf("%d\n", val[tr.kth(rt, v)]);
	} else if(opt == 5){
	tr.split(rt, v - 1, x, y);
	printf("%d\n", val[tr.kth(x, sz[x])]);
	rt = tr.merge(x, y);
	} else{
	tr.split(rt, v, x, y);
	printf("%d\n", val[tr.kth(y, 1)]);
	rt = tr.merge(x, y);
	}
	}
	return 0;
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	const int N = 1e6 + 51;
	int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' \|\| ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
	}
	mt19937 rnd((unsigned)time(0));
	int n, m, rt, r1, r2, tot;
	int maxn[N], val[N], add[N], sz[N];
	int ch[N][2], pri[N];
	bool lazy[N];
	int newnode(int v){
	sz[++tot] = 1, pri[tot] = rnd(), val[tot] = v;
	maxn[tot] = v, add[tot] = 0, lazy[tot] = 0;
	return tot;
	}
	void pushup(int u){
	sz[u] = sz[ch[u][1]] + sz[ch[u][0]] + 1;
	maxn[u] = val[u];
	if(ch[u][1]) maxn[u] = max(maxn[u], maxn[ch[u][1]]);
	if(ch[u][0]) maxn[u] = max(maxn[u], maxn[ch[u][0]]);
	}
	void pushdown(int x){
	if(lazy[x]){
	lazy[ch[x][1]] ^= 1, lazy[ch[x][0]] ^= 1;
	swap(ch[x][1], ch[x][0]);
	lazy[x] = 0;
	}
	if(add[x]){
	add[ch[x][1]] += add[x], add[ch[x][0]] += add[x];
	val[ch[x][1]] += add[x], val[ch[x][0]] += add[x];
	maxn[ch[x][1]] += add[x], maxn[ch[x][0]] += add[x];
	add[x] = 0;
	}
	}
	int merge(int x, int y){
	pushdown(x), pushdown(y);
	if(!x \|\| !y) return x + y;
	int u;
	if(pri[x] < pri[y]) u = x, ch[x][1] = merge(ch[x][1], y);
	else u = y, ch[y][0] = merge(x, ch[y][0]);
	pushup(u);
	return u;
	}
	void split(int u, int k, int &x, int &y){
	if(!u) return x = y = 0, void();
	pushdown(u);
	if(sz[ch[u][0]] >= k) y = u, split(ch[u][0], k, x, ch[u][0]);
	else x = u, split(ch[u][1], k - sz[ch[u][0]] - 1, ch[u][1], y);
	pushup(u);
	}
	void insert(int k, int v){
	split(rt, k, r1, r2), rt = merge(r1, merge(newnode(v), r2));
	}
	int main(){
	n = read(), m = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) insert(i - 1, 0);
	while(m--){
	int opt = read(), l = read(), r = read(), v;
	int x, y, z;
	if(opt == 1){
	v = read();
	split(rt, l - 1, x, y);
	split(y, r - l + 1, y, z);
	val[y] += v, maxn[y] += v, add[y] += v;
	rt = merge(x, merge(y, z));
	}else if(opt == 2){
	split(rt, l - 1, x, y);
	split(y, r - l + 1, y, z);
	lazy[y] ^= 1;
	rt = merge(x, merge(y, z));
	}else{
	split(rt, l - 1, x, y);
	split(y, r - l + 1, y, z);
	printf("%d\n", maxn[y]);
	rt = merge(x, merge(y, z));
	}
	}
	return 0;
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	#define int long long
	using namespace std;
	const int N = 3e5 + 67;
	int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' \|\| ch > '9'){if(ch == '-') f = -f; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
	}

	bool _u;

	mt19937 rnd((unsigned) time(0));
	int n, m, q, cn1, cn2;
	int rt[N], ch[N << 1][2], rd[N << 1], sz[N << 1], val[N << 1], R[N];
	int sum[N << 5], ls[N << 5], rs[N << 5];

	void pushup(int u){
	sz[u] = sz[ch[u][0]] + sz[ch[u][1]] + 1;
	}

	int newnode(int v){
	int x = ++cn2;
	return val[x] = v, rd[x] = rnd(), sz[x] = 1, x;
	}

	int merge(int x, int y){
	if(!x \|\| !y) return x \| y;
	if(rd[x] > rd[y]) return ch[x][1] = merge(ch[x][1], y), pushup(x), x;
	else return ch[y][0] = merge(x, ch[y][0]), pushup(y), y;
	}

	void split(int u, int k, int &x, int &y){
	if(!u) return x = y = 0, void();
	if(k <= sz[ch[u][0]]) y = u, split(ch[u][0], k, x, ch[u][0]);
	else x = u, split(ch[u][1], k - sz[ch[u][0]] - 1, ch[u][1], y);
	pushup(u);
	}

	void modify(int &u, int l, int r, int p){
	if(!u) u = ++cn1; ++sum[u];
	if(l == r) return ;
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(p <= mid) modify(ls[u], l, mid, p);
	else modify(rs[u], mid + 1, r, p);
	}

	int query(int u, int l, int r, int k){
	if(l == r) return l;
	int mid = (l + r) >> 1, v = (mid - l + 1) - sum[ls[u]];
	if(k <= v) return query(ls[u], l, mid, k);
	else return query(rs[u], mid + 1, r, k - v);
	}

	bool _v;

	signed main(){
	cerr << abs(&_u - &_v) / 1048576.0 << " MB\n";

	//freopen("1.in", "r", stdin);
	//freopen("1.out", "w", stdout);
	n = read(), m = read(), q = read();
	for(int i = 1, j = m; i <= n; ++i, j += m) rt[0] = merge(rt[0], newnode(j));
	for(int i = 1; i <= q; ++i){
	int x = read(), y = read(), res, a, b, c;
	if(y < m){
	int ss = sz[rt[x]];
	if(y < m - ss){
	int cnt = query(R[x], 1, m - 1, y);
	printf("%lld\n", res = (x - 1) * m + cnt);
	modify(R[x], 1, m - 1, cnt);
	}else{
	split(rt[x], y - (m - ss), a, b), split(b, 1, b, c);
	printf("%lld\n", res = val[b]), rt[x] = merge(a, c);
	}
	}
	split(rt[0], x - 1, a, b), split(b, 1, b, c);
	if(y < m) rt[x] = merge(rt[x], b);
	else printf("%lld\n", res = val[b]);
	rt[0] = merge(a, merge(c, newnode(res)));
	}
	return 0;
	}

Treap

Splay

无旋Treap——fhq treap

简介

算法介绍

(1)merge(x,y)

(2.1) Split(u, v, x, y)

(2.2) Split(u, kth, x, y)

(3) insert

(4) delte(u,v)

(5) modify(u,l,r)

Merge(x, y)

其他操作

1.删除

2.第 k 大

3. 前缀/后继

4. 排名

例题

Ⅰ. P3369 【模板】普通平衡树

Ⅱ. P4146 序列终结者

Ⅲ. P3960 [NOIP2017 提高组] 列队

重量平衡树

公告

常用链接

随笔档案

2.第 $k$ 大