P5686 [CSP-S2019 江西] 和积和

题意

给定两个下标从 $1$ 到 $n$ 编号的序列 $a_i,b_i$，定义函数，

$S(l,r)(1\le l\le r\le n)$：$\sum _{i=l}^r{a}_i\times \sum _{i=l}^r{b}_i$。

要求出下列式子的值：$\sum _{l=1}^n\sum _{r=1}^{n}S(l,r)$。

将答案模 $1e9+7$。

分析

令 $s{a}_i=\sum _{j=1}^i{a}_i$ ， $s{b}_i=\sum _{j=1}^i{b}_i$，$sum{a}_i=\sum _{j=1}^{i}s{a}_i$ ， $sum{b}_i=\sum _{j=1}^{i}s{b}_i$ ，
$su{m}_i=\sum _{j=1}^i{a}_j\times b_j$ 。

对于每一个 $r$ ：

• $re{s}_r=\sum _{l=1}^r(s{a}_r-s{a}_l)\times (s{b}_r-s{b}_l)$。
• $re{s}_r=\sum _{l=1}^{r}s{a}_r\times s{b}_r-s{a}_{l-1}\times s{b}_r-s{a}_r\times s{b}_{l-1}+s{b}_{l-1}\times s{a}_{l-1}$。
• $re{s}_r=r\times s{a}_r\times s{b}_r-s{b}_r\times sum{a}_{r-1}\times -s{a}_r\times sum{b}_{r-1}+su{m}_{r-1}$。

最后 $ans=\sum _{i=1}^{n}re{s}_i$ 。

记得变乘边模，特别是 $i\times s{a}_i\times s{b}_i$ 容易炸 int。

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define N 500005
#define int long long
using namespace std;
int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}
int n,ans;
int a[N],b[N],suma[N],sumb[N],sum[N];
signed main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=(read()+a[i-1])%mod;
	for(int i=1;i<=n;++i) b[i]=(read()+b[i-1])%mod;
	for(int i=1;i<=n;++i) suma[i]=(suma[i-1]+a[i])%mod;
	for(int i=1;i<=n;++i) sumb[i]=(sumb[i-1]+b[i])%mod;
	for(int i=1;i<=n;++i) sum[i]=(sum[i-1]+a[i]*b[i])%mod;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		ans=(ans+(i*a[i]%mod*b[i]%mod+sum[i-1]%mod-((b[i]*suma[i-1]%mod+a[i]*sumb[i-1]%mod)%mod)+mod)%mod)%mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}