P2971 [USACO10HOL]Cow Politics G

题意

一个树上每一个点都有一个组别，求相同组别的点对相差的最大距离。

分析

首先对于任意一个组别，深度最大的点一定在答案的点对里。

证明

假设答案的点对里没有深度最大的点,设深度最大的点为 \(x\),设点对中的点为 \(y,z\)，假设 \(d[y]\leq d[z]\leq d[x]\) ，\(t\) 为 \(y,z\) 的 \(lca\)。

1.若 \(z,y\) 属于 \(t\) 的不同子树，因为 \(d[y]\leq d[x]\)，$d[z]\leq d[x] $，若 \(x\) 不在 \(t\) 的子树内，那么，把 \(y\) 换为 \(x\) 会更优。若 \(x\) 在 \(t\) 的子树内，如果 \(lca(x,z)=t\)，显然可以将 \(y\) 换成 \(x\)。如果 \(lca(x,z)\ne t\)，那么很明显，将 \(z\) 换成 \(x\) 一定比点对 \(y,z\) 的答案更优，或者点对 \(x,z\) 比点对 \(x,y\) 更优，显然不论哪种情况，\(x\) 都在答案里。

2.若 \(z,y\) 属于 \(t\) 的同一棵子树，即 \(y=t\)，因为 \(d[y]\leq d[x]\)，$d[z]\leq d[x] $，若 \(x\) 不在 \(y\) 的子树内，那么把 \(y\) 换成 \(x\) 会更优，若在 \(y\) 子树内，那么显然把 \(z\) 换成 \(x\) 更优。

所以，对于不同组别，我们只需要求出深度最大的点即可，在 \(O(n)\) 枚举每一个点，与同组别深度最大的点求一遍 \(lca\) 更新答案。

\(code\)

#include<bits/stdc++.h>
#define N 200005
using namespace std;
int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}
queue<int> q;
int n,k,root,tot,t;
int a[N],p[N],d[N],f[N][25],maxd[N],ans[N],pos[N];
int Head[N],to[N<<1],Next[N<<1];
void add(int u,int v){to[++tot]=v,Next[tot]=Head[u],Head[u]=tot;}
void bfs(int s){
	q.push(s);d[s]=1,maxd[a[s]]=1;
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();q.pop();
		for(int i=Head[x];i;i=Next[i]){
			int y=to[i];if(d[y]) continue;
			d[y]=d[x]+1,f[y][0]=x;
			if(maxd[a[y]]<d[y]) pos[a[y]]=y;
			maxd[a[y]]=max(maxd[a[y]],d[y]);
			for(int j=1;j<=t;j++) f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
			q.push(y); 
		}
	}
}
int lca(int x,int y){
	if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
	for(int j=t;j>=0;--j)
		if(d[f[y][j]]>=d[x]) y=f[y][j];
	if(x==y) return x;
	for(int j=t;j>=0;--j)
		if(f[y][j]!=f[x][j]) x=f[x][j],y=f[y][j];
	return f[x][0];
}
int DIS(int x,int y){return d[x]+d[y]-2*d[lca(x,y)];}
signed main(){
	n=read(),k=read();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		a[i]=read(),p[i]=read();
		if(p[i]==0) root=i;
		else add(i,p[i]),add(p[i],i);
	}
	t=log(n)/log(2)+1;
	bfs(root);
	for(int i=1;i<=n;++i) ans[a[i]]=max(ans[a[i]],DIS(pos[a[i]],i));
	for(int i=1;i<=k;++i) printf("%d\n",ans[i]);
 	return 0;
}