洛谷 P2899 [USACO08JAN]Cell Phone Network G

题目大意

有N个点，N-1条边（也就是一棵树），对于任意一个节点，要么自己建一个信号站，要么父节点或子节点建一个信号站，问需要信号站个数最少是多少？

分析

看到这题，感觉跟没有上司的舞会很像，所以只需要在加一种状态就行了。

自己（x）,子节点（y），父节点（fa）中必须要有一个点建信号站。

定义状态：

f[x][0] 表示在i点建一个信号站需要的最少信号站数
f[x][1] 表示在i父节点建一个信号站需要的最少信号站数
f[x][2] 表示在i子节点建一个信号站需要的最少信号站数

状态转移：

y,z∈son[x],y≠z

1.f[x][0]=∑min(f[y][0],f[y][1],f[y][2])

这种状态表示在x放置信号站，可以选择在子节点放置（f[y][0]）,子节点可以选择被x包养（f[y][1]）,子节点也可以选择被自己儿子赡养（f[y][2]）

2.f[x][1]=∑min(f[y][0],f[y][2])

这种状态表示在fa放置信号站，那么子节点只能选择在自己这里放置（f[y][0]）,或在自己子节点放置（f[y][2]）

3.f[x][2]=min(∑min(f[y][0],f[y][2])+f[z][0])

此状态表示在y放置信号站，我们只要选择一个子节点放置就行了，其余子节点可以选择把信号站放在自己这，也可以选择放在自己子节点处

对于点y,如果此时f[x][2]=f[y][0]+∑_{j∈son[x],j≠y}min(f[j][0],f[j][2])不是最优的，

一定存在另一个点z满足f[z][0]+∑_{j∈son[x],j≠z}min(f[j][0],f[j][2]) < f[y][0]+∑_{j∈son[x],j≠y}min(f[j][0],f[j][2])

整理得，f[z][0]-min(f[z][0],f[z][2]）< f[y][0]-min(f[y][0],f[y][1])

所以对于最优的y ,只要满足 f[y][0]-min(f[y][0],f[y][2]) 是所有子节点中最小的就行了 ，所以我们可以先让f[0][0]=INF来转移

最后 只要在 f[1][0]与f[1][2] 中选择一个最小值即可

 

#include<bits/stdc++.h>
#define N 10005 
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,tot;
int f[N][3];  
//f[i][0] 表示在i点建一个信号站
//f[i][1] 表示在i父节点建一个信号站 
//f[i][2] 表示在i子节点建一个信号站
int Head[N],to[N<<1],Next[N<<1];
bool vis[N];
void add(int u,int v){
    to[++tot]=v;
    Next[tot]=Head[u];
    Head[u]=tot;
}
void dfs(int x,int fa){
    vis[x]=1;
    f[x][0]=1;
    int s=0;
    for(int i=Head[x];i;i=Next[i]){
        int y=to[i];
        if(vis[y]) continue;
        dfs(y,x);
        f[x][0]+=min(f[y][0],min(f[y][1],f[y][2]));
        f[x][1]+=min(f[y][0],f[y][2]);
        if(f[s][0]-min(f[s][0],f[s][2])>f[y][0]-min(f[y][0],f[y][2])) s=y;
    }
    f[x][2]=f[s][0];
    for(int i=Head[x];i;i=Next[i]){
        int y=to[i];
        if(y==fa||y==s) continue;
        f[x][2]+=min(f[y][0],f[y][2]);
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);
        add(v,u); 
    }
    f[0][0]=INF;
    dfs(1,0);
    printf("%d\n",min(f[1][0],f[1][2])); 
    return 0;
}