垒骰子(矩阵快速幂)
题目描述:
赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子,就是把骰子一个垒在另一个上边,不能歪歪扭扭,要垒成方柱体。
经过长期观察,atm 发现了稳定骰子的奥秘:有些数字的面贴着会互相排斥! 我们先来规范一下骰子:1 的对面是 4,2 的对面是 5,3 的对面是 6。
假设有 m 组互斥现象,每组中的那两个数字的面紧贴在一起,骰子就不能稳定的垒起来。 atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。
两种垒骰子方式相同,当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。 由于方案数可能过多,请输出模 10^9 + 7 的结果。
不要小看了 atm 的骰子数量哦~
输入格式:
第一行两个整数 n m n表示骰子数目
接下来 m 行,每行两个整数 a b ,表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。
输出格式:
一行一个数,表示答案模 10^9 + 7 的结果。
样例输入:
2 1 1 2
样例输出:
544
数据范围:
对于 30% 的数据:n <= 5 对于 60% 的数据:n <= 100
对于 100% 的数据:0 < n <= 10^9, m <= 36
题目思路:
from:https://blog.csdn.net/qq_34594236/article/details/53616283
简单矩阵快速幂的应用,求出递推矩阵,编程实现即可。
重点是利用相对的面构造 6×6 的转移矩阵,注意 1 个数字向下的状态有4种。
递推式:设dp[ i ][ j ]表示第 i 个骰子 j 面朝上的摆法有几种
递推矩阵:(根据递推式很容易可以写出)
矩阵T中 元素 T[ i ][ j ] 表示 i 面和 j 面的冲突关系
矩阵A中 元素A[ 1 ][ j ]表示 第1个骰子,j 面朝上的摆法有多少种,A乘一次T算出的是2个骰子。
最后,当一个面朝上的时候,骰子可以旋转,让别的面朝向不同,得到不同的摆法,所以最后要在得出的结果乘以 4^n
代码:
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<cmath> 4 #define MOD 1000000007 5 #define LL long long 6 using namespace std; 7 8 struct Matrix{ 9 LL v[6][6]; 10 Matrix(){memset(v,0,sizeof(v));} 11 }; 12 13 Matrix mul(Matrix x ,Matrix y){ 14 Matrix ans; 15 for(int i=0 ;i<6 ;i++){ 16 for(int j=0 ;j<6 ;j++){ 17 for(int k=0 ;k<6 ;k++){ 18 ans.v[i][j] = (ans.v[i][j] + x.v[i][k]*y.v[k][j])%MOD; 19 } 20 } 21 } 22 return ans; 23 } 24 25 Matrix q_pow(Matrix x,int k){ 26 Matrix ans; 27 for(int i=0 ;i<6 ;i++) ans.v[i][i] = 1; 28 while(k){ 29 if(k&1) ans = mul(ans,x); 30 x = mul(x,x); 31 k >>= 1; 32 } 33 return ans; 34 } 35 36 int n,m,a,b;; 37 38 int main(){ 39 //初始化 40 Matrix T,ans; 41 for(int i=0 ;i<6 ;i++){ 42 for(int j=0 ;j<6 ;j++){ 43 T.v[i][j] = 1; 44 } 45 } 46 //数据输入 47 scanf("%d%d",&n,&m); 48 for(int i=0 ;i<m ;i++){ 49 scanf("%d%d",&a,&b); 50 T.v[a-1][b-1] = 0; T.v[b-1][a-1] = 0; 51 } 52 //数据处理 53 ans = q_pow(T,n-1); 54 55 int sum = 0; 56 for(int i=0 ;i<6 ;i++){ 57 for(int j=0 ;j<6 ;j++){ 58 sum = (sum+ans.v[i][j])%MOD; 59 } 60 } 61 //结果输出 62 printf("%d\n",(sum*((int)pow(4,n))%MOD)%MOD); 63 64 return 0; 65 }
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