剪枝策略
剪枝策略
剪枝，顾名思义，就是通过一些判断，砍掉搜索树上不必要的子树。有时候，我们会发现某个结点对应的子树的状态都不是我们要的结果，那么我们其实没必要对这个分支进行搜索，砍掉这个子树，就是剪枝。
可行性剪枝
给定n个整数，要求选出K个数，使得选出来的K个数的和为sum。
在搜索时，如果已经选了k个数，再往后选多的数是没有意义的。所以我们可以直接减去这个搜索分支。
又比如，如果所有的数都是正数，如果一旦发现当前的和值都已经大于sum了，那么之后不管怎么选和值都不可能回到sum了，我们也可以直接终止这个分支的搜索。
我们在搜索过程中，一旦发现如果某些状态无论如何都不能找到最终的解，就可以将其“剪枝”了。
最优性剪枝
对于求最优解的一类问题，通常可以用最优性剪枝，比如在求解迷宫最短路的时候，如果发现当前的步数已经超过了当前最优解，那从当前状态开始的搜索都是多余的，因为这样搜索下去永远都搜不到更优的解。通过这样的剪枝，可以省去大量冗余的计算。此外，在搜索是否有可行解的过程中，一旦找到了一组可行解，后面所有的搜索都不必再进行了，这算是最优性剪枝的一个特例。
重复性剪枝
对于某一些特定的搜索方式，一个方案可能会被搜索很多次，这样是没必要的。
再来看这个问题：给定n个整数，要求选出K个数，使得选出来的K个数的和为sum。
如果搜索方法是每次从剩下的数里选一个数，一共搜到第k层，那么1,2,3这个选取方法能被搜索到6次，这是没必要的，因为我们只关注选出来的数的和，而根本不会关注选出来的数的顺序，所以这里可以用重复性剪枝。
我们规定选出来的数的位置是递增的，在搜索的时候，用一个参数来记录上一次选取的数的位置，那么此次选择我们从这个数之后开始选取，这样最后选出来的方案就不会重复了。
当然，搜索的效率也要比直接二进制枚举更高。
void dfs(int s, int cnt, int pos) { ... ... for (int i = pos; i <= n; i++) { if (!xuan[i]) { xuan[i] = true; dfs(s + a[i], cnt + 1, i + 1); // i + 1 表示从上一次选取的位置后面开始选 xuan[i] = false; } } }
从1,2,3,4……30这30个数中选取8个数使其和为200
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 int n, k, sum, ans; 4 int a[40]; 5 bool xuan[40]; 6 void dfs(int s, int cnt, int pos)//多加一个参数，进行重复性剪枝 7 { 8 if (s > sum || cnt > k) return;//可行性剪枝 9 10 if (s == sum && cnt == k) ans++; 11 for (int i = pos; i < n; i++) 12 { 13 if (!xuan[i]) 14 { 15 xuan[i] = 1; 16 dfs(s + a[i], cnt + 1, i + 1); 17 xuan[i] = 0; 18 } 19 } 20 } 21 int main() 22 { 23 n = 30; 24 k = 8; 25 sum = 200; 26 for (int i = 0; i < 30; i++) 27 a[i] = i + 1; 28 ans = 0; 29 dfs(0, 0,0); 30 cout << ans << endl; 31 return 0; 32 }
奇偶性剪枝
我们先来看一道题目：有一个n×m大小的迷宫。其中字符S表示起点，字符D表示出口，字符X表示墙壁，字符.表示平地。你需要从S出发走到D，每次只能向上下左右相邻的位置移动，并且不能走出地图，也不能走进墙壁。每次移动消耗1时间，走过路都会塌陷，因此不能走回头路或者原地不动。现在已知出口的大门会在T时间打开，判断在0时间从起点出发能否逃离迷宫。数据范围n,m≤10,T≤50。
我们只需要用DFS来搜索每条路线，并且只需搜到T时间就可以了（这是一个可行性剪枝）。但是仅仅这样也无法通过本题，还需考虑更多的剪枝。
如上图所示，将n×m的网格染成黑白两色。我们记每个格子的行数和列数之和x，如果x为偶数，那么格子就是白色，反之奇数时为黑色。容易发现相邻的两个格子的颜色肯定不一样，也就是说每走一步颜色都会不一样。更普遍的结论是：走奇数步会改变颜色，走偶数步颜色不变。
那么如果起点和终点的颜色一样，而T是奇数的话，就不可能逃离迷宫。同理，如果起点和终点的颜色不一样，而T是偶数的话，也不能逃离迷宫。遇到这两种情况时，就不用进行DFS了，直接输出"NO"。
这样的剪枝就是奇偶性剪枝，本质上也属于可行性剪枝。
剪枝条件：(sx + sy + ex + ey + T) % 2 != 0
例题
正方形
输入样例1
4 1 1 1 1
输出样例1
Yes
输入样例2
5 10 20 30 40 50
输出样例2
No
要一条边一条边地搜索，三条边一起搜索会超时，只需要搜索出前三条边即可。
对于正方形的每一条边，我们能事先计算出长度。
一条边一条边的进行搜索，当搜索到一条边满足长度要求的时候，重新从剩下的木棍中再搜索出一条边，直到搜索出四条边。
像三角形那样同时搜索4条边会超时的。记得需要用重复性剪枝。
ps：三角形那题三条边一起搜的写法
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 using namespace std; 4 int l[30]; 5 int sum, n; 6 bool ok; 7 void dfs(int id, int l1, int l2, int l3) { 8 if (l1 > sum || l2 > sum || l3 > sum) { 9 return; 10 } 11 if (ok) { 12 return; 13 } 14 if (id == n) { 15 if (l1 == sum && l2 == sum && l3 == sum) { 16 ok = 1; 17 } 18 return; 19 } 20 dfs(id + 1, l1 + l[id], l2, l3); 21 dfs(id + 1, l1, l2 + l[id], l3); 22 dfs(id + 1, l1, l2, l3 + l[id]); 23 } 24 25 int main() { 26 freopen("triangle.in", "r", stdin); 27 freopen("triangle.out", "w", stdout); 28 int ca; 29 cin >> n; 30 sum = 0; 31 for (int i = 0; i < n; ++i) { 32 cin >> l[i]; 33 sum += l[i]; 34 } 35 if (sum % 3) { 36 cout << "no" << endl; 37 return 0; 38 } 39 ok = 0; 40 sum /= 3; 41 dfs(0, 0, 0, 0); 42 if (ok) { 43 cout << "yes" << endl; 44 } else { 45 cout << "no" << endl; 46 } 47 return 0; 48 }
另外可以提前判断一下，如果所有木棍的和不能被4整除，那么肯定不可能。
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #include <iostream> 4 #include <string> 5 #include <math.h> 6 #include <algorithm> 7 #include <vector> 8 #include <stack> 9 #include <queue> 10 #include <set> 11 #include <map> 12 #include <sstream> 13 const int INF=0x3f3f3f3f; 14 typedef long long LL; 15 const int mod=1e9+7; 16 const double PI = acos(-1); 17 const double eps =1e-8; 18 #define Bug cout<<"---------------------"<<endl 19 const int maxn=1e5+10; 20 using namespace std; 21 22 int n,flag; 23 int a[30];//存数据 24 int vis[30];//判断每条边访问过没 25 int le[4];//每条边的边长 26 int L;//标准边长 27 28 void DFS(int num,int pos) 29 { 30 if(num>3)//递归出口，已经搜索到了三条边 31 { 32 flag=1; 33 return ; 34 } 35 if(flag) return ;//最优性剪枝 36 if(le[num]>L) return ;//可行性剪枝 37 if(le[num]==L) DFS(num+1,1);//找到了一条边 38 else 39 { 40 for(int i=pos;i<=n;i++) 41 { 42 if(vis[i]==0) 43 { 44 vis[i]=1; 45 le[num]+=a[i]; 46 DFS(num,i+1); 47 le[num]-=a[i]; 48 vis[i]=0; 49 } 50 } 51 } 52 } 53 54 int main() 55 { 56 #ifdef DEBUG 57 freopen("sample.txt","r",stdin); 58 #endif 59 ios_base::sync_with_stdio(false); 60 cin.tie(NULL); 61 62 scanf("%d",&n); 63 for(int i=1;i<=n;i++) 64 { 65 scanf("%d",&a[i]); 66 L+=a[i]; 67 } 68 if(L%4==0)//可以分成4条边 69 { 70 L/=4; 71 DFS(1,1); 72 } 73 if(flag) printf("Yes\n"); 74 else printf("No\n"); 75 76 return 0; 77 }
