剑指offer（斐波那契数列、跳台阶、变态跳台阶、矩形覆盖）

六、递归和循环

1. 斐波那契数列

题目描述：

​ 大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。

​ n<=39

思路：

​ 由于递归算法的效率太低，这里采用的是一种非递归的算法。

​ 时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)。

代码：

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) {
            return n;
        }
        int one = 0;
        int two = 1;
        int num = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            num = one + two;
            one = two;
            two = num;
        }
        return num;
    }
}

2. 跳台阶

题目描述：

​ 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

思路：

​ 首先我们考虑最简单的情况。如果只有1级台阶，那显然只有一种跳法。如果有2级台阶，则会有两种跳法。

​ 接着我们讨论n级台阶时的情况（n>2），假设n级台阶有f(n)种跳法。第一次跳有两种选择：一种是只跳一级，此时跳法的数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为f(n-1)；另一种是跳两级，此时的跳法数目等于后面剩下的n-2级台阶的跳法数目，即为f(n-2)。因此，n级台阶的不同跳法总数f(n)=f(n-1)+f(n-2)。可以看出，这就是一个斐波那契数列。

代码：

public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        if (target == 1 || target == 2) {
            return target;
        }
        int one = 1;
        int two = 2;
        int num = 0;
        for (int i = 3; i <= target; i++) {
            num = one + two;
            one = two;
            two = num;
        }
        return num;
    }
}

3. 变态跳台阶

题目描述：

​ 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路：

​ 如果只有1级台阶，则只有一种跳法。

​ n级台阶：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(1)+f(0)

​ n-1级台阶：f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+...+f(1)+f(0)

​ 故，f(n)=2*f(n-1)=2的n-1次方。

代码：

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        return (int)Math.pow(2,target-1);
    }
}

4. 矩形覆盖

题目描述：

我们可以用2 * 1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2 * 1的小矩形无重叠地覆盖一个2 * n的大矩形，总共有多少种方法？

比如n=3时，2 * 3的矩形块有3种覆盖方法。

思路：

​ 这仍然是一个斐波那契数列。

代码：

public class Solution {
    public int RectCover(int target) {
        if (target == 1 || target == 2) {
            return target;
        }
        int one = 1;
        int two = 2;
        int num = 0;
        for (int i = 3; i <= target; i++) {
            num = one + two;
            one = two;
            two = num;
        }
        return num;
    }
}