霍夫变换

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前言

今天群里有人问到一个图像的问题，但本质上是一个基本最小二乘问题，涉及到霍夫变换（Hough Transform），用到了就顺便总结一下。

内容为自己的学习记录，其中多有参考他人，最后一并给出链接。

 

一、霍夫变换（Hough）

A-基本原理

一条直线可由两个点A=(X₁,Y₁)和B=(X₂,Y₂)确定(笛卡尔坐标)

另一方面，也可以写成关于（k,q）的函数表达式（霍夫空间）：

对应的变换可以通过图形直观表示：

变换后的空间成为霍夫空间。即：笛卡尔坐标系中一条直线，对应霍夫空间的一个点。

反过来同样成立（霍夫空间的一条直线，对应笛卡尔坐标系的一个点）：

再来看看A、B两个点，对应霍夫空间的情形：

一步步来，再看一下三个点共线的情况：

可以看出如果笛卡尔坐标系的点共线，这些点在霍夫空间对应的直线交于一点：这也是必然，共线只有一种取值可能。

如果不止一条直线呢？再看看多个点的情况（有两条直线）：

其实（3，2）与（4，1）也可以组成直线，只不过它有两个点确定，而图中A、B两点是由三条直线汇成，这也是霍夫变换的后处理的基本方式：选择由尽可能多直线汇成的点。

看看，霍夫空间：选择由三条交汇直线确定的点（中间图），对应的笛卡尔坐标系的直线（右图）。

 到这里问题似乎解决了，已经完成了霍夫变换的求解，但是如果像下图这种情况呢？

k=∞是不方便表示的，而且q怎么取值呢，这样不是办法。因此考虑将笛卡尔坐标系换为：极坐标表示。

在极坐标系下，其实是一样的：极坐标的点→霍夫空间的直线，只不过霍夫空间不再是[k,q]的参数，而是的参数，给出对比图：

是不是就一目了然了？

给出霍夫变换的算法步骤：

对应code:

function [ Hough, theta_range, rho_range ] = naiveHough(I)
%NAIVEHOUGH Peforms the Hough transform in a straightforward way.
%
[rows, cols] = size(I);
 
theta_maximum = 90;
rho_maximum = floor(sqrt(rows^2 + cols^2)) - 1;
theta_range = -theta_maximum:theta_maximum - 1;
rho_range = -rho_maximum:rho_maximum;
 
Hough = zeros(length(rho_range), length(theta_range));
for row = 1:rows
    for col = 1:cols
        if I(row, col) > 0 %only find: pixel > 0
            x = col - 1;
            y = row - 1;
            for theta = theta_range
                rho = round((x * cosd(theta)) + (y * sind(theta)));  %approximate
                rho_index = rho + rho_maximum + 1;
                theta_index = theta + theta_maximum + 1;
                Hough(rho_index, theta_index) = Hough(rho_index, theta_index) + 1;
            end
        end
    end
end

其实本质上就是：

交点怎么求解呢？细化成坐标形式，取整后将交点对应的坐标进行累加，最后找到数值最大的点就是求解的，也就求解出了直线。

 　　B-理论应用

 这里给出MATLAB自带的一个应用，主要是对一幅图像进行直线检验，原图像为：

首先是对其进行边缘检测：

边缘检测后并二值化，就可以通过找非零点的坐标确定数据点。从而对数据点进行霍夫变换。对应映射到霍夫空间的结果为：

 

找出其中数值较大的一些点，通常可以给定一个阈值，Threshold一下。

这就完成了霍夫变换的整个过程。这个时候求解出来了其实就是多条直线的斜率k以及截距q，通常会根据直线的特性进一步判断，从而将直线变为线段：

不过这一步更类似后处理，其实已经不是霍夫变换本身的特性了。

 给出对应的代码：

clc;clear all;close all;
I  = imread('circuit.tif');
rotI = imrotate(I,40,'crop');
subplot 221
fig1 = imshow(rotI);
BW = edge(rotI,'canny');
title('原图像');
subplot 222
imshow(BW);
[H,theta,rho] = hough(BW);
title('图像边缘检测');
subplot 223
imshow(imadjust(mat2gray(H)),[],'XData',theta,'YData',rho,...
        'InitialMagnification','fit');
xlabel('\theta (degrees)'), ylabel('\rho');
axis on, axis normal, hold on;
colormap(hot)
P = houghpeaks(H,5,'threshold',ceil(0.7*max(H(:))));
x = theta(P(:,2));
y = rho(P(:,1));
plot(x,y,'s','color','black');
lines = houghlines(BW,theta,rho,P,'FillGap',5,'MinLength',7);
title('Hough空间');
subplot 224, imshow(rotI), hold on
max_len = 0;
for k = 1:length(lines)
   xy = [lines(k).point1; lines(k).point2];
   plot(xy(:,1),xy(:,2),'LineWidth',2,'Color','green');
 
   % Plot beginnings and ends of lines
   plot(xy(1,1),xy(1,2),'x','LineWidth',2,'Color','yellow');
   plot(xy(2,1),xy(2,2),'x','LineWidth',2,'Color','red');
 
   % Determine the endpoints of the longest line segment
   len = norm(lines(k).point1 - lines(k).point2);
   if ( len > max_len)
      max_len = len;
      xy_long = xy;
   end
end
 
% highlight the longest line segment
plot(xy_long(:,1),xy_long(:,2),'LineWidth',2,'Color','red');
title('直线检测');

 对比自带的Hough与编写的Hough:

 

效果还是比较接近的。

看到Stackoverflow上的一个答案，觉得很好，收藏一下：