积分技巧

不同坐标下的积分

直角坐标系

• 体积元素：$dV=dxdydz$
• 平行于xy平面的面积元素：$dA=dxdy$
• 平行于yz平面的面积元素：$dA=dydz$
• 平行于xz平面的面积元素：$dA=dxdz$

球坐标系

• 体积元素：$dV=r^{2}sin\theta drd\theta d\varphi$
• 位于$r=constant$球面上的面积元素：$dA=r^{2}sin\theta d\theta d\varphi$
• 位于$\theta =constant$锥面上的面积元素：$dA=rsin\theta d\varphi dr$
• 位于$\varphi =constant$半平面上的面积元素：$dA=rdrd\theta$

柱坐标系

• 体积元素：$dV=\rho dpd\varphi dz$
• 位于$\rho =constant$圆柱面上的面积元素：$dA=\rho d\varphi dz$
• 位于$\varphi =constant$半平面上的面积元素：$dA=d\rho dz$
• 位于$z=constant$平面上的面积元素：$dA=\rho d\rho d\varphi$

极坐标系

• 面积元素：$dA=rdrd\theta$

计算上的背记

• $⟨co{s}^2\omega t⟩=⟨si{n}^2\omega t⟩=\frac{1}{2}$

一些常见积分的结果

$${\int }_0^{\pi }cos\theta sin\theta d\theta =\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }sin2\theta d\theta =0$$