经典力学

经典力学

概述

包括运动学和动力学，附加一套分析力学的语言其实就是这一部分的全部核心了。利用最基础的力、能量、动量、速度、加速度等概念再加上目前的这些基本定理自己就可以解决所有的经典力学问题。不过应试的时候还是需要我们去背记一些模型甚至是公式以便加快解题速度。

运动学

基本概念

• 速度： 单位时间走过的距离
  $v=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$
• 速率： 某一时刻物体的速度
  $v=\frac{dx}{dt}$
• 加速度：单位时间速度的变化量
  $a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$

直线运动模型和圆周运动模型

	直线运动	圆周运动
		$a=\frac{v^2}{r}$ or $a={\omega }^{2}r$
		$\omega =\frac{v}{r}$
匀加速运动	$v=v_0+at$	$\omega ={\omega }_0+at$
	$x-x_0=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$	$\theta =\frac{\omega +{\omega }_0}{2}t$
	$x-x_0=\frac{1}{2}(v+v_0)t$	${\omega }^2={\omega }_0^2+2a\theta$

动力学

基本概念

• 牛一：惯性
• 牛二：$F=ma$
• 牛三：力是相互的

物理受力和势能的关系

$$F=-▽U$$

动量

$p=mv$

冲量定理

$\mathrm{\Delta }p=J=\int Fdt$(冲量，即物理过程中动量的变化量，也即力对时间的积累)

能量

• 动能：$E=\frac{1}{2}m{v}^2$
• 势能：这个一般题目中会给出形式，通常会被写作$U(x)$。我们需要关注的是势能与力的关系 $F(x)=-\frac{dU(x)}{dx}$。

做功

$W_{net}=E_{final}-E_{initial}$(这意味着做功会改变体系的能量)
$W=F\mathrm{\Delta }x$ or $W=F\mathrm{\Delta }rcos\theta$ or $W={\int }_{x_i}^{x_f}F(x)dx$(做功即力对空间的积累)

弹簧模型

• 胡克定律$F=-kx$
• 弹性势能$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$
• 弹簧的串联：$\frac{1}{k_{tot}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$
• 弹簧的并联：$k_{tot}=k_1+k_2$
• 弹簧系统的简谐振动方程(由牛二得出来的，自己尝试)

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x=0$$

这个方程的解为：

$$x(t)=Acos(\omega t+\varphi )$$

其中A是振幅，表示系统的最大位移。$\omega$是角频率，单位为弧度每秒。$\varphi$是相位常数，决定了初始时刻$t=0$的位移。
角频率可以从运动学方程的系数得出$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$
振动频率：$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$

简谐运动

• 运动方程$x(t)=Asin(\omega t+\delta )$
• 运动周期$T=\frac{2\pi }{\omega }$
• 能量$E=\frac{1}{2}m{A}^2{\omega }^{2}co{s}^2(\omega t+\delta )+\frac{1}{2}k{A}^{2}si{n}^2(\omega t+\delta )=\frac{1}{2}k{A}^2$(其实就是动能和势能之和)

刚体模型

之前描述的都是质点模型中的内容，如果出现了物体不可弯折，而且大小又不可忽略，就需要用刚体思路来考虑。

• 转动惯量$I=\int R^{2}dm$
• 转动动能$E=\frac{1}{2}I{\omega }^2$
• 平行轴定理(对于一个刚体，若已知其绕质心轴的转动惯量，那么该刚体绕平行轴的转动惯量为：$I=I_{cm}+M{d}^2$)
  其中平行轴是与质心轴平行并且距离质心d的旋转轴。I是物体绕平行轴的转动惯量，$I_{cm}$是物体绕质心轴的转动惯量，M是物体的质量，d是平行轴与质心轴之间的距离。
• 力矩$\tau =r\times F$ or $\tau =I\alpha$ or $\tau =\frac{dL}{dt}$
• 角动量$L=I\omega$
• 角动量和线动量的关系：$L=r\ast p$
• 动能$E=\frac{1}{2}{I}_{constant}{\omega }^2$，我们利用平行轴定理将该式展开后可以得到$E=\frac{1}{2}{I}_{cm}{\omega }^2+\frac{1}{2}m{v}^2$(会发现其实就是转动动能和线速度的动能之和)

物体	转动惯量
绕末端转动的细杆	$I=\frac{1}{2}M{L}^2$
绕中心转动的细杆	$I=\frac{1}{12}M{L}^2$
绕中心转动的实心圆盘	$I=\frac{1}{2}M{R}^2$
绕中心转动的空心圆环	$I=M{R}^2$
质点	$I=m{d}^2$

集合模型

但是如果存在一群粒子，这个粒子群的位置、速度、加速度等，都是各个分粒子量的和除以体系总质量

保守力和天体运动模型

• 重力加速度$g=\frac{GM}{r^2}$
• 引力$F=-(\frac{GMm}{r^2})\hat{r}$
• 引力势能$U(r)=-\frac{GMm}{r}$
• 逃逸速度：只要记住当物体的动能刚刚好足够它摆脱星球的引力势能，此时对应的速度就是逃逸速度。$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$
• 开普勒三定律
  • 所有星球的运行轨道都是一个椭圆，太阳在焦点上
  • 在同等时间段里，星球运动所扫过的面积相等（这个结论记住，有的选择题就不需要浪费时间再去计算了，根据椭圆的性质也好推）
  • $\frac{T^2}{R^3}=C$ T是星球椭圆运动的周期，R是轨道的半长轴

天体运动的拓展

• 有效势能
  在经典力学中有效势能用于分析中心力场问题中物体的径向运动
  eg. 假设存在一个质量为m的物体在一个中心力场中运动，中心力场的势能为$V(r)$且值依赖于物体和中心之间的距离r。因此物体的总能量可以写作：

$$E=T+V(r)=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)+V(r)$$

根据$L=m{r}^2\dot{\theta }$对径向部分的动能做改写：

$$T=\frac{L^2}{2m{r}^2}$$

则总能量的表达式变成了：

$$E=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{L^2}{2m{r}^2}+V(r)$$

可以看出来角动能项和势能项都仅仅依赖于距离r，因此可以两者合而视作有效势能，最终总能量变为：

$$E=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+V_{eff}(r)$$

在量子力学中也类似，三维下，薛定谔方程为：

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\Delta }}^2\psi +V(r)\psi =E\psi$$

球坐标下的拉普拉斯算符：

$${\mathrm{\Delta }}^2=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{d}{dr})-\frac{{\hat{L}}^2}{{\hslash }^2{r}^2}$$

通过分离变量可以得到径向波函数为：

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})+[V(r)+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2m{r}^2}]R(r)=ER(r)$$

而相互作用势和离心势被视作有效势能：

$$V_{eff}(r)=V(r)+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2m{r}^2}$$

如何理解有效势能
量子力学中有效势能帮助我们理解角动量量子数l对粒子运动的影响，高角动量对应更强的离心势能，是的粒子更难靠近中心。
使得我们可以只通过研究径向运动就能理解整个系统的运动行为。
经典力学中的有效势能图：

我们发现有效势能的改变会影响粒子运动的轨道。下表展示了细节：

轨道类型	能量条件	是否束缚	速度条件	推导
螺旋轨道	$E<V_{min}$	是	$V<\sqrt{\frac{GM}{r}}$
圆轨道	$E=V_{min}$	是	$V=\sqrt{\frac{GM}{r}}$	$\frac{m{v}^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}$
椭圆轨道	$V_{min}<E<0$	是	$\sqrt{\frac{GM}{r}}<V<\sqrt{\frac{2GM}{r}}$or$v=\sqrt{GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})}$
抛物线轨道	$E=0$	否	$V=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$	$\frac{1}{2}m{r}^2=\frac{GMm}{r^2}$
双曲线轨道	$E>0$	否	$V>\sqrt{\frac{2GM}{r}}$

浮力和流体

• 浮力：$F=\rho gv$
• equation of continuity：${\rho }_1{v}_1{A}_1={\rho }_2{v}_2{A}_2$
• 伯努利方程：$P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=constant$
• 单位时间内流过一个界面的水量保持不变：$v_1{A}_1=v_2{A}_2$
• 一个水箱开个小孔，飚出来的水的势能是$\mathrm{\Delta }U=mgh$，h是孔到睡眠的距离。

碰撞

• 完全弹性碰撞：碰撞过程中不会因为形变等造成能量损失，碰撞后两个物体各走各的。联立动量守恒和能量守恒的公式就可以就出结果。直接记住：
  $v_{af}=\frac{(m_a-m_b)v_{ai}+2m_b{v}_{bi}}{m_a+m_b}$
  $v_{bf}=\frac{(m_b-m_a)v_{bi}+2m_a{v}_{ai}}{m_a+m_b}$
• 完全非弹性碰撞：碰撞过后两个物体粘在一块儿了。
  $v=\frac{m_a{v}_{ai}+m_b{v}_{bi}}{m_a+m_b}$

分析力学

• 拉格朗日方程：$L=T-V$
• 欧拉拉格朗日方程：

$$\frac{\partial L}{\partial q}=\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}})$$

• 广义坐标（q）：可以是任何坐标，可以是角度、距离等
• 广义动量（p）：可以对应于线动量和角动量
• 共轭动量：$p_i=\frac{\partial L}{\partial \widehat{q_i}}$
• 哈密顿量：$H=T+V=p\dot{q}-L(q,\dot{q})$。因此也可以得到 $\frac{\partial H}{\partial p}=\dot{q}$和$\frac{\partial H}{\partial q}=-\frac{\partial L}{\partial x}=-\dot{p}$
• 哈密顿方程
  是关于广义坐标$q_i$和广义动量$p_i$的一对一阶微分方程

$$\dot{q_i}=\frac{\partial H}{\partial p_i}$$

$$\dot{p_i}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

守恒量

拉格朗日量随时间不变说明系统能量守恒
拉格朗日量随距离不变说明线动量守恒