量子力学大概总结(一)
我自己为了方便随时查看和复习写了这一份量子力学总结笔记,力在写出来源和结论,推导大部分都忽略掉了,也可能有描述得不精确的地方,会在不断学习的过程中慢慢完善。
量子力学的基本假定
- 量子系统的状态由一个波函数完全描述,这个波函数可以推导出系统所有的性质。波函数满足连续性、有限性和单值性。
- 量子系统的物理量用厄米算符来表示。表示力学量的算符由组成完全系的函数。
- 波函数的统计诠释。将系统的波函数
用算符 的本征函数展开(离散: ,连续: )为 ,则在 态中测量算符F得到的结果为 的概率为 ,得到结果在 的范围内的概率是 > - 量子系统的状态波函数由薛定谔方程描述
。 - 全同性原理:在全通粒子组成的体系中,两个全同粒子互相调换不改变体系的状态。
- 自旋:在非相对论量子力学中,电子的自旋也是作为假定引进的。但是,自旋作为一个假定是由于忽略了相对论效应的缘故。在相对论量子力学中,自旋像粒子的其他性质一样,包含在狄拉克方程中不需要做另外的假定。
波动力学
自由粒子波函数:
薛定谔方程
其中
这是构造出来的,只是其预言与实验结果非常符合从而正确性得到验证。
态叠加原理
如果
波函数的统计诠释
波函数的强度(波函数振幅绝对值的平方:
概率流守恒定律(需要完善)
在非相对论量子力学中粒子不产生也不湮灭,因此粒子出现在全空间的概率为1.
波函数归一化
假如有一个波函数满足:
波函数平方可积
因为任何一波函数要能够归一化,这就意味着
定态薛定谔方程
如果薛定谔方程中的势能函数与时间无关,那么薛定谔方程就可以分离变量(分成仅含时间的部分和仅含位置的部分)
- 其中不含时部分的薛定谔方程为:
,或者说是 ,写成狄拉克符号形式为 ,其中 是本征函数或者说本征态,E是本征能量。、 - 含时部分的薛定谔方程为:
,解为:
并且通常来说能量本征方程的解不止一个(离散的或连续的多个本征值)。于是不含时薛定谔方程的本征解为:
- 本征解必须是实数
- 概率密度在时间演化中保持不变
- 任意力学量在本征解所描述的态中的期望值不随时间改变。
因此将不含时薛定谔方程的空间部分称为定态薛定谔方程,解称为定态波函数,所代表的态称为定态。
定态
定态薛定谔方程的本征态也即不含时系统的能量本征态就叫做定态。
- 处于定态下的微观粒子能量E具有确定的值。
- 粒子的概率密度不随时间改变。
- 所有力学量取各种可能值的几率分布及其平均值都不随时改变
- 系统初态为:
,也即意味着 则
束缚态与束缚态薛定谔方程的解
一个能量为E的粒子处在势能为
- 束缚态薛定谔方程的本征解:
- 束缚态薛定谔方程的一般解:
- 束缚态薛定谔方程的展开系数为:
。其中 是哈密顿量算符的本征函数, 是初始波函数。 - 解题思路就是先求出本征方程,得到本征值
和本征函数 ,再利用 和初始波函数 求出展开系数 ,最后将 , 和 代入一般解的表达式就可以求出来。 - 能量的平均值为:
散射态与散射态薛定谔方程的解
粒子能量大于束缚场的势能时,粒子可以出现在空间任意位置,并且粒子的能量不再是分立的。粒子具有连续变化的动量值和连续变化的能量值。这种运动状态称为“散射态”。最简单的散射态就是一维自由粒子。
- 散射态薛定谔方程的一般解:
力学量的平均值
不是对同一个系统重复测量的结果的平均,是对相同系统多次测量的结果的平均。因为一旦测量波函数就会坍塌。
- 位置的平均值:
- 速度的平均值:
- 动量的平均值:
- 力的平均值:
- 这是束缚态的情况:离散。假定有厄米算符
,其归一化本征函数为 ,相应的本征值为 ,满足本征方程 ,则本征函数服从正交关系式 。任意连续函数可以按本征函数系 展开为 ,其中展开系数为 。 表示任意态 中发现本征态 的概率,也即在 中测量力学量 得到本征值 的概率,而体系处于本征态 中的概率和为1,因此 。最终力学量在任意态 中的平均值就是 或者 。如果恰好 那么 - 这是散射态的情况:连续。本征方程为
。本征函数服从正交关系式 ,任意态在本征函数集 的展开为 。展开系数为 ,并且概率和为1依然成立 ,力学量F在 态中的平均值为 以及
艾伦费斯特定理
描述的是力学量的平均值随时间的演化。表达式为:
位力定理
描述当体系处于定态下与动能相关的平均值。
- 对于
是x,y,z的n次齐次函数的势场有
赫尔曼-费曼定理
力学量的算符表示
如果量子力学体系中的某个力学量用算符
- 厄米算符:本征值是实数,并且
。表示力学量的所有算符都是厄米函数。 - 算符的厄米共轭:如果一个算符的厄米共轭和它本身相等,那么这个算符就是厄米共轭,具体为
。 - 厄米算符本征函数具备正交性:厄米算符中属于不同本征值的两个本征函数相互正交。即
- 厄米算符本征函数具备完备性:假设厄米算符的
的正交归一本征函数是 ,对应的本征值是 ,则任意函数 可以按 展开为 - 如果两个算符
和 有一组共同的本征函数 ,而且 组成完全系,则算符 和 对易。
力学量算符的本征函数和本征值
- 能量本征函数和本征值
- 势能改变一个常量时,粒子的能量本证波函数不改变,能量本征值改变同样数值。
- 粒子的能量是势能平均值和动能平均值之和
- 粒子能量本征值的最小值要大于粒子势能的最小值
- 位置的本征方程和本征值
- 位置算符在坐标表象下的本征方程为
- 位置算符在动量表象下的本征方程为
,其中
- 位置算符在坐标表象下的本征方程为
- 动量算符的本征函数和本征值
- 动量算符在坐标表象下的本征方程为
。其中 - 动量算符在动量表象下的本征方程为
- 动量算符在坐标表象下的本征方程为
算符的对易关系
如果
- 算符对易的物理意义
- 如果两个算符A和B有一组共同的本征矢
,且它们构成完备集 ,则算符A和B对易。 - 如果两个算符A和B对易,则它们有共同的本征矢。力学量A和B同时具有确定值
和 ,即力学量A和B可以被同时测定。 - 举个例子感受一下:类氢离子的本征函数
是哈密顿算符 ,角动量平方算符 和角动量z分量算符 ,这样在状态 中相应的力学量同时具有确定值 。这个{ }也通常被称为力学量完备集。
- 如果两个算符A和B有一组共同的本征矢
不确定性原理
因为两个算符不对易才会有不确定原理。假设两个算符之间的对易关系为
- 坐标和动量的不确定关系
- 角动量分量的不确定关系
, , 。这也意味着如果角动量的一个分量具有确定值,其他两个分量都没有确定值,因此一个微观粒子没有确定的角动量只有一个确定的分量, 也可以直接被称为角动量,不必称为角动量Z分量,因为如果有了确定的 就谈不上 了。 - 能量时间不确定性关系
守恒量
与时间无关的力学量A与体系的哈密顿两H对易,即
- 守恒量A的平均值
不随时间改变 - 在任意态
下守恒量A的测量值的概率分布不随时间改变。如果A的本征态为 则意味着 - 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G,
, ,但是 ,则体系能级一般是简并的。如果[F,G]=常数,则体系的所有能级都简并,并且简并都为无穷大。 - 如果体系有一个守恒量F,而体系的某条能级E不简并,即对应于该能量本征值E只有一个本征态
,则 必定为F的本征态。- 能量守恒:设体系H不显含t,则[H,H]=0。所以H为守恒量。
- 动量守恒:对于自由粒子来说
,因此[p,H]=0,所以 为守恒量。 - 角动量守恒:对于自由粒子来说
,所以 也是守恒量。 - 中心力场中的粒子:
, ,所以 为守恒量。但是 不是。
讨论
- 为什么反复提及平均值:因为在微观世界我们在实验中测得的数据都是平均值
- 定态与守恒量有什么关系和区别:
- 定态也就是能量本征态。
- 在定态下,力学量的平均值和测量值的概率分布不随时间改变
- 守恒量是指与体系的哈密顿量对易的力学量
- 守恒量在一切的状态下平均值和测量值的概率分布都不随时间改变。
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