量子力学大概总结(一)

我自己为了方便随时查看和复习写了这一份量子力学总结笔记,力在写出来源和结论,推导大部分都忽略掉了,也可能有描述得不精确的地方,会在不断学习的过程中慢慢完善。

量子力学的基本假定

  1. 量子系统的状态由一个波函数完全描述,这个波函数可以推导出系统所有的性质。波函数满足连续性、有限性和单值性。
  2. 量子系统的物理量用厄米算符来表示。表示力学量的算符由组成完全系的函数。
  3. 波函数的统计诠释。将系统的波函数ψ用算符F^的本征函数展开(离散:F^ϕn=λnϕn,连续:F^ϕλ=λϕλ)为Ψ=ncnϕn+cλϕλdλ,则在Ψ态中测量算符F得到的结果为λn的概率为|cn|2,得到结果在λλ+dλ的范围内的概率是|cλ|2dλ>
  4. 量子系统的状态波函数由薛定谔方程描述iΨt=H^Ψ
  5. 全同性原理:在全通粒子组成的体系中,两个全同粒子互相调换不改变体系的状态。
  6. 自旋:在非相对论量子力学中,电子的自旋也是作为假定引进的。但是,自旋作为一个假定是由于忽略了相对论效应的缘故。在相对论量子力学中,自旋像粒子的其他性质一样,包含在狄拉克方程中不需要做另外的假定。

波动力学

自由粒子波函数:ψ(r,t)=Aei/(prEt)

薛定谔方程

iψt=22m2ψ+V(r)ψ

其中22m2是动能,V(r,t)是势能。则系统的哈密顿量为H^=22m2+V(r,t)
这是构造出来的,只是其预言与实验结果非常符合从而正确性得到验证。

态叠加原理

如果ψ1ψ2是体系可能的状态,则它们的线性组合ψ=c1ψ1+c2ψ2也是体系可能得状态。

波函数的统计诠释

波函数的强度(波函数振幅绝对值的平方:|ψ(r,t)|2)表示任意t时刻粒子在空间r处的单位体积中出现的概率。

概率流守恒定律(需要完善)

在非相对论量子力学中粒子不产生也不湮灭,因此粒子出现在全空间的概率为1.|ψ(r,t)|2dr=1

波函数归一化

假如有一个波函数满足:|ψ(r,t)|2dr=A,其中A是常数,我们可以令ψ(r,t)=1Aψ(r,t)。因为,1:全空间的概率密度应该为1. 2:波函数ψ乘以一个常数也依然是薛定谔方程的解。并且波函数的归一化条件不应该随时间改变,即任意时刻在全空间找到粒子的概率都应该为1,即ddt|ψ(r,t)|2dr=0

波函数平方可积

因为任何一波函数要能够归一化,这就意味着|ψ(r,t)|2dr得是有一个有限的值。因此波函数就需要满足:x>±,ψ(r,t)>0

定态薛定谔方程

如果薛定谔方程中的势能函数与时间无关,那么薛定谔方程就可以分离变量(分成仅含时间的部分和仅含位置的部分)

  • 其中不含时部分的薛定谔方程为:[22m2+V(r)]ϕ(r)=Eϕ(r),或者说是H^ϕ(r)=Eϕ(r),写成狄拉克符号形式为H^|ϕ=E|ϕ,其中ϕ(r)是本征函数或者说本征态,E是本征能量。、
  • 含时部分的薛定谔方程为:i1U(t)U(t)=E,解为:U(t)=ceiEt

并且通常来说能量本征方程的解不止一个(离散的或连续的多个本征值)。于是不含时薛定谔方程的本征解为:ψn(r,t)=ϕn(r)e1Ent。不含时薛定谔方程的一般解ψ(r,t)=ncnψn(r,t)=ncnϕn(r)eiEnt.

  • 本征解必须是实数
  • 概率密度在时间演化中保持不变
  • 任意力学量在本征解所描述的态中的期望值不随时间改变。

因此将不含时薛定谔方程的空间部分称为定态薛定谔方程,解称为定态波函数,所代表的态称为定态。

定态

定态薛定谔方程的本征态也即不含时系统的能量本征态就叫做定态。

  • 处于定态下的微观粒子能量E具有确定的值。
  • 粒子的概率密度不随时间改变。
  • 所有力学量取各种可能值的几率分布及其平均值都不随时改变
  • 系统初态为:|ψ(0)=|ϕ0,也即意味着c0=1,c1=0,c2=0,|ψ(t)=eiE0t|ϕ0

束缚态与束缚态薛定谔方程的解

一个能量为E的粒子处在势能为V(r)的场中,任何一个地方的势能都比粒子的能量高,因此粒子的运动被限制在这个场内部,无法跃出去。这就叫做"束缚态"。但是在量子力学的情况下粒子出现在拐点(势场临界点)之外的概率并不为零。束缚态中薛定谔方程的解是离散的

  • 束缚态薛定谔方程的本征解:Ψn(r,t)=ψn(r)eiEnt
  • 束缚态薛定谔方程的一般解:Ψ(r,t)=ncnψn(r)eiEnt
  • 束缚态薛定谔方程的展开系数为:cn=ψn(r)f(r)dr。其中ψn(r)是哈密顿量算符的本征函数,f(r)是初始波函数。
  • 解题思路就是先求出本征方程,得到本征值En和本征函数ψn(r),再利用ψn(r)和初始波函数f(r)求出展开系数cn,最后将cnEnψn(r)代入一般解的表达式就可以求出来。
  • 能量的平均值为:n|cn|2En

散射态与散射态薛定谔方程的解

粒子能量大于束缚场的势能时,粒子可以出现在空间任意位置,并且粒子的能量不再是分立的。粒子具有连续变化的动量值和连续变化的能量值。这种运动状态称为“散射态”。最简单的散射态就是一维自由粒子。

  • 散射态薛定谔方程的一般解:Ψ(r,t)=c(r)ψ(r,t)

力学量的平均值

不是对同一个系统重复测量的结果的平均,是对相同系统多次测量的结果的平均。因为一旦测量波函数就会坍塌。

  • 位置的平均值:x=x|ψ(x,t)|2dx
  • 速度的平均值:v=dxdt=imψψxdx
  • 动量的平均值:p=mv=iψψx
  • 力的平均值:F=dpdt=Vx
  • 这是束缚态的情况:离散。假定有厄米算符F^,其归一化本征函数为ψ1(x),ψ2(x),,ψn(x),,相应的本征值为λ1,λ2,,λn,,满足本征方程F^ψn(x)=λnψn(x),则本征函数服从正交关系式ψm(x)ψn(x)dx=δnm。任意连续函数可以按本征函数系{ψn(x)}展开为f(x)=ncnψn(x)其中展开系数为cn=ψn(x)f(x)dx|cn|2表示任意态f(x)中发现本征态ψn(x)的概率,也即在f(x)中测量力学量F得到本征值λn的概率,而体系处于本征态ψ1(x),ψ2(x),,ψn(x),中的概率和为1,因此n|cn|2=1。最终力学量在任意态f(x)中的平均值就是F=nλn|cn|2或者F=fF^f(x)dx。如果恰好f(x)=ψn(x)那么F^=λn
  • 这是散射态的情况:连续。本征方程为F^ψλ(x)=λψλ(x)。本征函数服从正交关系式ψλ(x)ψλ(x)dx=δ(λλ),任意态在本征函数集{ψλ(x)}的展开为f(x)=c(λ)ψλ(x)dλ。展开系数为c(λ)=ψλ(x)f(x)dx,并且概率和为1依然成立|c(λ)|2dλ=1,力学量F在f(x)态中的平均值为F=λ|c(λ)|2以及F^=f(x)F^f(x)dx

艾伦费斯特定理

描述的是力学量的平均值随时间的演化。表达式为:

ddtA=1i[A,H]+At

位力定理

描述当体系处于定态下与动能相关的平均值。

2T=r^(V)

  • 对于V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数的势场有2T=nV

赫尔曼-费曼定理

Enλ=ψn|Hλ|ψn

力学量的算符表示

如果量子力学体系中的某个力学量用算符F^表示,那么当这个体系处于F^的本征态时,这个力学量具有确定的值,即本征方程F^ψ=λψ的本征值。其实可以说某态就是某波函数。

  • 厄米算符:本征值是实数,并且F=F。表示力学量的所有算符都是厄米函数。
  • 算符的厄米共轭:如果一个算符的厄米共轭和它本身相等,那么这个算符就是厄米共轭,具体为F
  • 厄米算符本征函数具备正交性:厄米算符中属于不同本征值的两个本征函数相互正交。即ϕkψldτ=0
  • 厄米算符本征函数具备完备性:假设厄米算符的F^的正交归一本征函数是ϕn(x),对应的本征值是λn,则任意函数ψn(x)可以按ϕn(x)展开为ψ(x)=ncnϕn(x)
  • 如果两个算符F^G^有一组共同的本征函数ϕn,而且ϕn组成完全系,则算符F^G^对易。

力学量算符的本征函数和本征值

  • 能量本征函数和本征值
    • 势能改变一个常量时,粒子的能量本证波函数不改变,能量本征值改变同样数值。
    • 粒子的能量是势能平均值和动能平均值之和
    • 粒子能量本征值的最小值要大于粒子势能的最小值
  • 位置的本征方程和本征值
    • 位置算符在坐标表象下的本征方程为x^δ(xx)=xδ(xx)
    • 位置算符在动量表象下的本征方程为ipxϕx(px)=xϕx(px),其中ϕx(px)=12πeipxx
  • 动量算符的本征函数和本征值
    • 动量算符在坐标表象下的本征方程为iψp(r^)=pψp(r^)。其中ψp(r^)=1(2π)32eip^r^
    • 动量算符在动量表象下的本征方程为pxδ(pxpx)=pxδ(pxpx)

算符的对易关系

[A^,B^]=A^B^B^A^

如果[A^,B^]=0就说算符A^和算符B^对易。

  • 算符对易的物理意义
    • 如果两个算符A和B有一组共同的本征矢|n,且它们构成完备集{|n},则算符A和B对易。
    • 如果两个算符A和B对易,则它们有共同的本征矢。力学量A和B同时具有确定值n|A^|n=ann|B^|n,即力学量A和B可以被同时测定。
    • 举个例子感受一下:类氢离子的本征函数ψnlm是哈密顿算符H^,角动量平方算符L2^和角动量z分量算符Lz^,这样在状态ψnlm中相应的力学量同时具有确定值En,l(l+1)2,m。这个{H^,L2^,Lz^}也通常被称为力学量完备集。

不确定性原理

因为两个算符不对易才会有不确定原理。假设两个算符之间的对易关系为ABBA=iC,这里C是常数或者算符。算符A在一个量子态|ψ中的期待值为A=ψ|A|ψ,算符B在一个量子态|ψ中的期待值为B=ψ|B|ψ,引入算符A的偏差ΔA=A2A2,算符B的偏差ΔB=B2B2,则

ΔAΔBC2

  • 坐标和动量的不确定关系ΔxΔp2
  • 角动量分量的不确定关系ΔLxΔLy2LzΔLyΔLz2LxΔLzΔLx2Ly。这也意味着如果角动量的一个分量具有确定值,其他两个分量都没有确定值,因此一个微观粒子没有确定的角动量只有一个确定的分量,lZ也可以直接被称为角动量,不必称为角动量Z分量,因为如果有了确定的Lz就谈不上Lx,Ly了。
  • 能量时间不确定性关系ΔEΔt2

守恒量

与时间无关的力学量A与体系的哈密顿两H对易,即[A,H]=0,称A为守恒量。

  • 守恒量A的平均值A不随时间改变dAdt=0
  • 在任意态ψ(t)下守恒量A的测量值的概率分布不随时间改变。如果A的本征态为ϕk则意味着d|ak(t)|2dt=0
  • 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G,[F,H]=0[G,H]=0,但是[F,G]0,则体系能级一般是简并的。如果[F,G]=常数,则体系的所有能级都简并,并且简并都为无穷大。
  • 如果体系有一个守恒量F,而体系的某条能级E不简并,即对应于该能量本征值E只有一个本征态ψE,则ψE必定为F的本征态。
    • 能量守恒:设体系H不显含t,则[H,H]=0。所以H为守恒量。
    • 动量守恒:对于自由粒子来说H=p22m,因此[p,H]=0,所以p^为守恒量。
    • 角动量守恒:对于自由粒子来说[l^,H]=0,所以l^也是守恒量。
    • 中心力场中的粒子:H=p22m+V(r^)[l^,H]=0,所以l^为守恒量。但是p^不是。

讨论

  • 为什么反复提及平均值:因为在微观世界我们在实验中测得的数据都是平均值
  • 定态与守恒量有什么关系和区别:
    • 定态也就是能量本征态。
    • 在定态下,力学量的平均值和测量值的概率分布不随时间改变
    • 守恒量是指与体系的哈密顿量对易的力学量
    • 守恒量在一切的状态下平均值和测量值的概率分布都不随时间改变。
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