tyvj 1884 [NOIP2000T4]方格取数 || codevs 1043 dp
P1884 [NOIP2000T4]方格取数
时间: 1000ms / 空间: 131072KiB / Java类名: Main
背景
[noip2000T4]方格取数
描述
设有N*N的方格图(N<=10,我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。如下图所示(见样例):
![](http://www.tyvj.cn/p/%C2%A0http://yt.tyvj.cn:8080/ProblemImg/P1017.jpg)
某人从图的左上角的A 点出发,可以向下行走,也可以向右走,直到到达右下角的B点。在走过的路上,他可以取走方格中的数(取走后的方格中将变为数字0)。
此人从A点到B 点共走两次,试找出2条这样的路径,使得取得的数之和为最大。
![](http://www.tyvj.cn/p/%C2%A0http://yt.tyvj.cn:8080/ProblemImg/P1017.jpg)
某人从图的左上角的A 点出发,可以向下行走,也可以向右走,直到到达右下角的B点。在走过的路上,他可以取走方格中的数(取走后的方格中将变为数字0)。
此人从A点到B 点共走两次,试找出2条这样的路径,使得取得的数之和为最大。
输入格式
输入的第一行为一个整数N(表示N*N的方格图),接下来的每行有三个整数,前两个表示位置,第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。
输出格式
只需输出一个整数,表示2条路径上取得的最大的和。
测试样例1
输入
8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0
输出
67
取自http://www.cnblogs.com/TonyNeal/p/codevs1043.html;
思路一:
我们设f[i,j,k,l]表示第一条路走到(i,j),第二条路走到(k,l)的路线。
那么状态转移方程很好得出:
f[i,j,k,l]=max{f[i-1,j,k-1],f[i-1,j,k,l-1],f[i,j-1,k-1,l],f[i,j-1,k,l-1]}+(i==k&&j==l ? a[i][j] : a[i][j]+a[k][l])
值得注意的是:最后加上这个值的时候要注意如果路径走到同一点不能重复统计。
时间复杂度:O(n4),空间复杂度O(n4),对于本题n<=10完全足够。
思路二:
虽然思路一对于本题完全足够,但是如果n的范围大些的话,就无法办到了。
针对思路一,我们发现了问题,有一些状态是可以合并的,最重要的是:思路一,我们是同时开始走的,那么不必记录向右、向下的具体路径,只需要记录步数,显然,两条路的步数是统一的,然后再记录向下或向右的次数,就能根据这两者推算出向下或向右的次数。
那么设f[i,j,k]表示走到了第i步,第一条路径向右走了j步,第二条路径向右走了k步。
那么f[i,j,k]=max{f[i-1,j,k],f[i-1,j-1,k],f[i-1,j-1,k-1],f[i-1,j,k-1]}+(j==k ? a[i-j+1][i] : a[i-j+1][j]+a[i-k+1][k]);
显然,我们也要判断路径是否走到同一点,所以有后面的那个if( ? : 三目运算符)
时间复杂度:O(2n3),空间复杂度O(2n3),优化了一维。从n的四方优化至n的三方,是一个很大的进步。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll __int64 #define esp 1e-10 const int N=1e2+10,M=1e6+10,mod=1e9+7,inf=1e9+10; int dp[N][N][N]; int mp[N][N]; int max(int x,int y,int z,int w,int u) { return max(u,max(max(x,y),max(z,w))); } int main() { int x,y,z,i,t; scanf("%d",&x); while(1) { int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); if(u==0&&v==0&&w==0) break; mp[u][v]=w; } for(i=1;i<=2*x;i++) { for(t=1;t<=i&&t<=x;t++) { for(int j=1;j<=i&&j<=x;j++) dp[i][t][j]=max(dp[i][t][j],dp[i-1][t-1][j],dp[i-1][t-1][j-1],dp[i-1][t][j],dp[i-1][t][j-1])+((t==j)?mp[t][i-t+1]:(mp[j][i-j+1]+mp[t][i-t+1])); } } printf("%d\n",dp[2*x][x][x]); return 0; }