hihocode 九十七周 中国剩余定理

题目1 : 数论六·模线性方程组

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描述

小Ho：今天我听到一个挺有意思的故事！

小Hi：什么故事啊？

小Ho：说秦末，刘邦的将军韩信带领1500名士兵经历了一场战斗，战死四百余人。韩信为了清点人数让士兵站成三人一排，多出来两人；站成五人一排，多出来四人；站成七人一排，多出来六人。韩信立刻就知道了剩余人数为1049人。

小Hi：韩信点兵嘛，这个故事很有名的。

小Ho：我觉得这里面一定有什么巧妙的计算方法！不然韩信不可能这么快计算出来。

小Hi：那我们不妨将这个故事的数学模型提取出来看看？

小Ho：好！

<小Ho稍微思考了一下>

小Ho：韩信是为了计算的是士兵的人数，那么我们设这个人数为x。三人成排，五人成排，七人成排，即x mod 3, x mod 5, x mod 7。也就是说我们可以列出一组方程：

x mod 3 = 2
x mod 5 = 4
x mod 7 = 6

韩信就是根据这个方程组，解出了x的值。

小Hi：嗯，就是这样！我们将这个方程组推广到一般形式：给定了n组除数m[i]和余数r[i]，通过这n组(m[i],r[i])求解一个x，使得x mod m[i] = r[i]。

小Ho：我怎么感觉这个方程组有固定的解法？

小Hi：这个方程组被称为模线性方程组。它确实有固定的解决方法。不过在我告诉你解法之前，你不如先自己想想怎么求解如何？

小Ho：好啊，让我先试试啊！

提示：模线性方程组

输入

第1行：1个正整数, N，2≤N≤1,000。

第2..N+1行：2个正整数, 第i+1行表示第i组m,r，2≤m≤20,000,000，0≤r<m。

计算过程中尽量使用64位整型。

输出

第1行：1个整数，表示满足要求的最小X，若无解输出-1。答案范围在64位整型内。

样例输入

3
3 2
5 3
7 2

样例输出

23
裸的中国剩余定理，数据比较强，原来写的过不了，估计相乘爆了64；

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<list>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 1000000007
#define inf 999999999
//#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
int scan()
{
    int res = 0 , ch ;
    while( !( ( ch = getchar() ) >= '0' && ch <= '9' ) )
    {
        if( ch == EOF ) return 1 << 30 ;
    }
    res = ch - '0' ;
    while( ( ch = getchar() ) >= '0' && ch <= '9' )
        res = res * 10 + ( ch - '0' ) ;
    return res ;
}
ll a[100010];
ll b[100010];
ll gcd(ll x,ll y)
{
    if(y==0)
    return x;
    else
    return gcd(y,x%y);
}
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    exgcd(b, a % b, x, y);
    ll tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b) * y;
}
int main()
{
    ll x,y,z,i,t;
    while(scanf("%lld",&z)!=EOF)
    {
    for(i=0;i<z;i++)
    scanf("%lld%lld",&b[i],&a[i]);
    ll a1=a[0],b1=b[0];
    ll jie=1;
    for(i=1;i<z;i++)
    {
        ll a2=a[i],b2=b[i];
        ll xx,yy;
        ll gys=gcd(b1,b2);
        if((a2-a1)%gys)
            {
                jie=0;
                break;
            }
            exgcd(b1/gys,b2/gys,xx,yy);
            xx = ((a2-a1)/gys*xx)%(b[i]/gys);//这句是关键
            a1= a1+xx*b1;
            b1 = b1/gys*b[i];
            a1 =((a1%b1)+b1)%b1;
        }
    if(!jie)
    printf("-1\n");
    else
    printf("%lld\n",a1);
    }
    return 0;
}