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图论基础——最短路算法集锦

最短路算法有个基础——————松弛操作(在大多数最短路算法都会涉及)

if(d[e[i].v]>d[e[i].u]+w[i])//
{
  d[e[i].v]>d[e[i].u]+w[i];      
}

最短路算法一共有多少种方法我不知道,在这里我只想记录4种:

•Dijkstra:求单源点最短路(不含负边权
•Bellman-ford:求单源点最短路可含负边权
•SPFA(使用队列优化后的Bellman-ford
•Floyd:求各点间的最短路(可含负边权

Firstly,Bellman-Ford算法

•算法步骤:
1、初始化:将除源点外的所有顶点最短距离估计值d[v]=inf,d[s]=0;
2、迭代求解:反复对边集E中每条边进行松弛操作,使得顶点集V中每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离;
3、检验负权回路:如果有存在点v,使得d[v]>d[u]+w[u][v],则有负权回路,返回false;
4、返回true,源点到v的最短距离保存在d[v]中。
 那就上一个代码模版吧~
void Bellman()
{
    for(int j=1;j<=n-1;j++)//每一次循环遍历所有的节点,遍历n-1次
       {
        k=0 ; //判断每一次遍历中是否有过松弛,若没有,后面也不会再有就可弹出循环
        for(int i=1;i<=2*m;i++)
        {
            if(dis[e[i].v ]>dis[e[i].u ]+e[i].w )
            {
                dis[e[i].v ]=dis[e[i].u ]+e[i].w ;
                k=1; //有松弛就记为1
            }
        }
        if(k==0)//判断
        {
            break; 
        }
    }
    printf("%d",dis[n]);//输出到最后一个点的最短路
}

中间关于“k”的部分,只是一种优化,可以删去,不影响算法。

Secondly,SPFA算法

  准确地说,SPFA就是用队列对上面那个算法进行了一个优化,其实很简单。

  适用范围:给定的图存在负权边,这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地,而Bellman-Ford算法的复杂度又过高SPFA算法便派上用场了。我们约定有向加权图G不存在负权回路,即最短路径一定存在。当然,我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序,以判断是否存在负权回路,但这不是我们讨论的重点。

   算法思想:我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值,用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法:设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止。所以需要一个vis数组进行判断是否在队列中。

  

void SPFA()
{
    queue<int>q;
    q.push(1);//入队
    vis[1]=1;
    while(!q.empty())//队列不为空
    {
        int u=q.front();
        vis[u]=0;//出队,记为0
        q.pop();
        for(int i=head[u];i!=0;i=e[i].next )
        {
            int v=e[i].v ;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].w )//松弛操作
            {
                dis[v]=dis[u]+e[i].w ;
                if(!vis[v])//判断它是否在队列中
                {
                    vis[v]=1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    printf("%d",dis[n]);//这里输出的是源点到最后一个点的最短路
}

 

 

Thirdly,Dijkstra算法

  算法思想设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将其加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

实现步骤:

1、初始时,S只包含源点,即S=v,距离为0。U包含除v外的其他顶点,U中顶点u距离为边上的权;

2、从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度);3、以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值为经过顶点k的值(松弛操作);

4、重复步骤2和2直到所有顶点都包含在S中。

最重要的是Dijkstra可以用优先队列来进行优化

 

void Dijkstra()
{
    typedef pair<int,int>p;
    priority_queue<p,vector<p>,greater<p> >q;
    dis[1]=0;
    q.push(make_pair(dis[1],1));//将这个点到源点的距离与这个点进行配对
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.top().second;//u=这个组合中的第二个元素——点
        q.pop();
        if(vis[u])
        {
            continue;
        }
        vis[u]=1;
        for(int i=head[u];i!=0;i=e[i].next )
        {
            int v=e[i].v ;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].w )//松弛操作
            {
                dis[v]=dis[u]+e[i].w ;
                q.push(make_pair(dis[v],v));//将这个点到源点的距离与这个点进行配对
            }
        }
    }
    printf("%d",dis[n]);
}

 

  再次强调,Dijkstra不能处理负权边

 
Finally,Floyd

  其实它就是一个Dp一样去不断改变中间点、起点和终点,不断地去枚举并改变它的两点(起点和终点)之间的最小值,其实~很简单。在此不做过多赘述(个人觉得除了能求出每两个点之间的最短路径也没有多大用处,不但不能处理负权边,而且时间复杂度还特高--O(n3))。
  上代码:
void Floyd
{
    for(int k=1;k<=n;++k)//必须先循环中间点
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                if(i!=j&&dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
                {
                    dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
            }
            }
        }
    } 
    printf("%d\n",dis[1][n]);//输出源点到最后一个点的距离
} 

以上就是我的一些总结,如有纰漏,请留言~~~~~~

posted on 2019-11-01 21:23  cjhl  阅读(151)  评论(0编辑  收藏  举报

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