雷达原理-目标距离测量

目标到雷达的距离 $R$ 可以通过测量电波往返一次所需时间 $t_R$ 得到：

$R = \frac{1}{2}ct_R\\$

时间 $t_R$ 就是回波相对于发射信号的延迟，因此，目标距离测量就是要精确测量延迟时 $t_R$ 。

根据雷达发射信号的不同，测定延迟时间通常可以采用：

脉冲法
频率法
相位法

一，脉冲法测距

1，基本原理

有两种定义回波到达时间 $t_R$ 的方法：一种是以目标回波脉冲的前沿作为它的到达时刻；另一种是以回波脉冲的中心（或最大值） 作为它的到达时刻。

如果要测定目标回波的前沿，由于实际的回波信号不是矩形脉冲而近似为钟形，此时可将回波信号与一比较电平相比较，把回波信号穿越比较电平的时刻作为其前沿。用电压比较器是不难实现上述要求的。用脉冲前沿作为达时刻的缺点是容易受回波大小及噪声的影响。

后面讨论的自动距离跟踪系统通常采用回波脉冲中心作为到达时刻。回波脉冲中心估计如下图所示。

当微分器的输出经过零值时便产生一个窄脉冲，该脉冲出现的时间正好是回波视频脉冲的最大值，通常也是回波脉冲的中心。

2，影响测距精度的因素

根据公式：

$R=\frac{1}{2}ct_R\\$

可知， $R$ 和 $c$ 、 $t_R$ 有关。

分析精度通常使用高等数学里面的全微分的概念。对上式做全微分得：

$dR=\frac{1}{2}cdt_R+\frac{1}{2}t_Rdc\\$

用增量代替微分，可得到测距误差为：

$\Delta R=\frac{c}{2}\Delta t_R+\frac{R}{c}\Delta c\\$

其中， $\Delta c$ 为电波传播速度平均值的误差， $\Delta t_R$ 为测量目标回波迟延时间的误差。

（1）时间差的影响--------> $dt_{R}$越小，$dR$越小

（2）电波传播速度变化的影响--------->$\frac{dR}{R}=\frac{dc}{c}$

（3）大气折射的影响

（4）测读方法的影响

3，距离分辨率和测距范围

1）距离分辨力

距离分辨力（或距离分辨率）是指同一方向上两个大小相等点目标之间的最小可区分距离。用 $\Delta R$ 表示。

$\Delta R=\frac{1}{2}c(\tau + \frac{d}{v_N})\\$

$d$ ：光电直径（单位：m）

$v_N$ ：扫掠速度（单位：m/s）

$d/v_{N}$：考虑光电的宽度之后得到的距离分辨率

我们希望距离分辨力 $\Delta R$ 越小越好。根据上面的公式可知，这时对应的脉宽 $\tau$ 就应该越小。 $\tau$ 小之后会带来什么问题呢？

根据能量表示的雷达方程， $E=P_t\tau$ ，如果 $\tau$ 过小，信号能量就小，雷达最大作用距离就会下降。这就是说存在距离分辨力和最大作用距离的矛盾问题。

该怎么解决这个矛盾呢？

发射脉冲压缩波形，比如线性调频信号，接收时对回波进行匹配滤波。匹配滤波除了能提高信号的输出信噪比，还可以完成脉冲压缩的功能。这就可以解决距离分辨力和最大作用距离的矛盾问题。

如果不做特殊处理，两个回波信号在时间轴上就叠加到了一起，无法区分开两个目标。如果将两个回波信号通过匹配滤波器，就可以得到如图所示的波形。匹配滤波器是一个线性系统，根据线性系统的叠加性，将两个回波信号叠加之后通过线性系统的输出，可以看成回波 1 通过线性系统的输出加上回波 2 通过线性系统的输出。

本来无法区分的两个目标，经过匹配滤波器之后变得可以区分，也就是说匹配滤波器有提高距离分辨力的作用。

那么提高之后的距离分辨力是多少呢？

这就跟图中两个辛克函数形状波形的宽度有关。如果这两个波形再靠近，直到相互交叠，目标也就无法区分开了。所以，距离分辨力也不说可以无限制的提升。

对于辛克函数，我们往往采用 -3dB 宽度来表示其宽度。但是，-3dB 的点往往不太规整，而 -4dB 的点反而比较规整，正好是 $1/B$ 。所以，这里采用 -4dB 的点的宽度来表示辛克函数的宽度。

对于脉压雷达：

$\Delta R = \frac{1}{B}\frac{c}{2}=\frac{c}{2B}\\$

这里的 $1/B$ 相当于前面的 $\tau$ 。 $B$ 为线性调频信号带宽。

线性调频信号：

$s(t)=Acos(2\pi f_0t+\pi \mu t^2+{\phi}_0)\\$

对于频率：

$f(t)=\frac{d\phi}{2\pi dt}=f_0+\mu t， 0 \leq t \leq\tau\\$

线性调频信号带宽为：

$B=信号最大频率-信号最小频率=\mu \tau\\$

对于普通雷达， $\tau$ 增大， $\Delta R$ 增大；对于线性调频信号， $\tau$ 增大， $B$ 增大， $\Delta R$ 减小。

匹配滤波对于普通雷达而言，可以达到输出信噪比最大的作用。对于脉压雷达，可以提高距离分辨力。

关于 -3dB 的说明： 在角度、时间和频域三个维度都有 -3dB 的说法。-3dB 衡量的是最大值往下落 3dB 点位置之间的间隔。

a）如果间隔的单位为秒，就代表时间维度上的 -3dB，比如这一节中线性调频信号通过匹配滤波器之后的波形； b）如果间隔的单位为度，就代表角度维度上的 -3dB，主要用来衡量天线波束宽度； c）如果间隔的单位为赫兹，就代表频率维度上的 -3dB，比如门函数的频谱。

2）最大无模糊测距范围

测距范围包括最小可测距离和最大单值测距范围。所谓最小可测距离，是指雷达能测量的最近目标的距离。

收发共用天线的雷达系统中，在发射脉冲宽度 $\tau$ 时间内，接收机和天线馈线系统间是“断开”的，不能正常接收目标回波，发射脉冲过去后天线收发开关恢复到接收状态，也需要一段时间 $t_0$ 。也就是说在 $\tau + t_0$ 这段时间内，由于不能正常接收回波信号，雷达是很难进行测距的。因此，雷达的最小可测距离为：

$R_{min}=\frac{c}{2}(\tau + t_0)\\$

$t_0$ ：收发转换时间。

雷达的最大无模糊距离由其脉冲重复周期 $T_r$ 决定：

$R_{max}=\frac{1}{2}cT_r\\$

注意这里的 $R_{max}$ 指最大无模糊距离。想要增大最大无模糊距离，可以增大 $T_r$ 。

根据上一章的结论，积累脉冲数：

$M=\frac{{\theta}_{0.5}}{\omega } \frac{1}{T_r}\\$

如果 $T_r$ 增大，积累的回波数 $M$ 就会减小。积累脉冲数减少，雷达探测距离就会下降（相参积累之后，最大作用距离变为 $R_{max}\sqrt[4]{M}$ ，这个 $R_{max}$ 表示雷达最大作用距离）。这里就存在矛盾的地方。

雷达探测目标，首先应该考虑达到最大作用距离，这时 $T_r$ 就确定下来了。再来考虑是否满足最大无模糊距离。如果不满足，就需要解模糊。

$R=\frac{1}{2}ct_R=\frac{1}{2}c(mT_r+t_r)，0 \leq t_r < T_r\\$

$R$ ：目标到雷达的距离；

$m$ ：假设跨了 $m$ 个周期；

$t_r$ ：回波离它最近主波之间的时间差。

3）距离模糊的判决方法

重频参差（两重频）如下图所示：

$t_R = t_1+n_1\frac{1}{f_{r1}} ，0 \leq t_1 \leq T_{r1}\\ = t_2+n_2\frac{1}{f_{r2}} ，0 \leq t_2 \leq T_{r2}\\$

$n_1$ 、 $n_2$ ：对应两组发射脉冲的跨周期数。

$f_{r1}=(N+a)f_r \\ f_{r2}=Nf_r\\$

一般取 $a=1$ ，上图中 $N=4$ 。 $f_{r1}$ 和 $f_{r2}$ 可以看成是一个基础频率 $f_{r}$ 上的一个倍频量。所以有：

$\frac{f_{r1}}{f_{r2}}=\frac{N+1}{N} \\$

根据公式：

$t_R = t_1+n_1\frac{1}{f_{r1}} = t_2+n_2\frac{1}{f_{r2}} \\$

当 $a=1$ 时， $n_1$ 和 $n_2$ 的关系可能有两种，即 $n_1=n_2$ 和 $n_1=n_2+1$ 。

假设 $n_1=n_2$ ，可得：

$t_R=\frac{t_1f_{r1}-t_2f_{r2}}{f_{r1}-f_{r2}}\\$

假设 $n_1=n_2+1$ ，可得：

$t_R=\frac{t_1f_{r1}-t_2f_{r2}+1}{f_{r1}-f_{r2}}\\$

如果按前式算出 $t_R$ 为负值，则应采用后式。

重频参差的最大无模糊距离：

$R_{max}=\frac{1}{2} c (T_{r1}和T_{r2}的最小公倍数)\\$

还有一个舍脉冲法，每发射M个脉冲，少发1个脉冲，那么接收回波也会在对应位置少一个脉冲，相当于用舍的脉冲做了一个标记，扩大了无模糊距离，扩大了M倍。

二、调频法测距

调频法测距可以用在连续波雷达中，也可以用于脉冲雷达。

调频连续波雷达的组成框图如下所示。发射机产生连续高频等幅波，其频率在时间上按三角形规律或按正弦规律变化，目标回波和发射机直接耦合过来的信号加到接收机混频器内。在无线电波传播到目标并返回天线的这段时间内，发射机频率较之回波频率己有了变化，因此在混频器输出端便出现了差频电压。后者经放大、限幅后加到频率计上。差频电压的频率实际上就与目标距离有关。

下面说明三角形波调制测距的数学原理。

发射频率按周期性三角波形的规律变化，如下图所示。

a）正程

发射频率： $f(t)=f_0+\mu t$

对应发射信号的时域表示：

$s_t(t)=Acos(2\pi f_0t+\pi \mu t^2)\\$

对应接收信号的时域表示：

$s_r(t)=ks_t(t-t_r) \\ =kAcos(2\pi f_0(t-\frac{2(R_0-vt)}{c})+\pi \mu (t-\frac{2(R_0-vt)}{c})^2)\\$

$v$ ：目标相对于雷达的径向速度， $R_0$ ：目标到雷达的初始距离。所以，接收信号的频率可以表示为：

$f_r=f_0+\frac{2v}{\lambda}+\mu (t-\frac{2R_0}{c})(1+\frac{2v}{c})\\$

$\frac{2v}{\lambda}=f_d$ ：多普勒频率。由于 $c >> v$ 。

$f_r=f_0+f_d+\mu (t-\frac{2R_0}{c})\\$

假设目标静止不动，即 $f_d=0$ ，上式可以写成：

$f_r=f_0+\mu (t-\frac{2R_0}{c})\\$

从上式可以看出，接收信号的频率实际上就是将发射信号的频率迟延 $2R_0/c$ 。

b）逆程

发射频率：

$f_r=f_0-\mu t\\$

接收频率：

$f_r=f_0-\mu (t-\frac{2R_0}{c})+f_d\\$

发射信号和接收信号频率变化如下图所示。

c）求差频的平均值

正程频率差，用 $f_{b^+}$ 表示：

$f_{b^+}=f_t-f_r=\frac{2\mu R_0}{c}-f_d\\$

逆程频率差，用 $f_{b^-}$ 表示：

$f_{b^-}=f_r-f_t=\frac{2\mu R_0}{c}+f_d\\$

频率计测得的差频的平均值，用 $f_{bav}$ 表示：

$f_{bav}=\frac{f_{b^+}+f_{b^-}}{2} =\frac{2\mu R_0}{c}\\$

因此，可得：

$R_{0}=\frac{c f_{bav}}{2\mu}\\$

频率计测频的一种方法

假设能够测频的范围为 $[f_1,f_2]$ 。一种方法就是在这个范围内设计很多带宽相等的小滤波器，每个小滤波器都有一个中心频率。将差频得到的信号，送入如下的滤波器组。假设滤波器 A 有输出，其中心频率为图中黑点所示，真实信号频率为图中红点所示。我们就将滤波器 A 的中心频率作为该信号频率的测量值。如果滤波器带宽越窄，测频精度就越高。