[转载][研究总结]最短路、最长路与差分约束的最大解、最小解

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NEERC Southern Subregional 2005 C King Berl VI / SGU 298

正好用到，就复习下自己的笔记了。原文地址点我。

 

Abstract

最短路、最长路与差分约束的最大解、最小解之间的关系。

 

Body

记号

记加权图G(V,E):w(u,v)。记路径p的长度为w(p)。

 

预备知识

<单源最长路及其求法>

最长路的定义与最短路是对偶的。

对加权图G(V,E):w(u,v)及源点s∈V。若对于某一点v∈V，存在一条从s到v的路径p*使得w(p*) >= w(p)，其中p为从s到v的任意路径，则称p为从s到v的最长路，w(p*)为最长路长度，记做D[v]。如果图中不存在正权环，则对于任意v∈V，D[v]都是一个确定的有界值。

（注意：在最长路问题中，若(u,v)不属于E，则隐式地有w(u,v)=-INF，这和最短路是相类似的）

 

<最长路求解>

那么如何求对于每一点的最长路长度D[v]呢？

定义G的对偶图G*(V,E):w*(u,v)=-w(u,v)，即G*中每条边权值为原图的相反数。则易知对于任意一条路径p有w(p)=-w*(p)。

我们考察G*以s为源点的单源最短路问题。若G*无负权环（则G无正权环），则对于任意v∈V，有d*[v] <= w*(p)，其中d*[v]为最短路长度，w*(p)为任意从s到v的路径p的长度。变形得到-d*[v] >= w(p)，容易看出若令D[v]=-d*[v]，则D[v]就是G的最长路长度。即我们可以通过求G*的单源最短路来得到G的单源最长路。

实现时，可以不必对G的权取相反数。我们注意到对G*的松弛过程：if (d*[v] > d*[u]+w*(u,v)) then d*[v] = d*[u]+w*(u,v)，我们令D[v]=-d*[v]，稍作变形得到：if (D[v] < D[u]+w(u,v)) then D[v] = D[u]+w(u,v)。注意到这里的D数组实际上就是上面所说的（松弛过程中的）最长路长度数组。因此，可以直接对图G进行SPFA(还是"S"PFA吗？），只要改变松弛过程即可。注意由于d*[v]的初始值是INF，则D[v]的初始值=-d*[v]=-INF。

 

<最长路三角不等式>

D[v] >= D[u]+w(u,v)，证明类似最短路的三角不等式。见算法导论p361。

 

<前趋子图与最短/最长路径树>

见算法导论p361。

<差分约束系统及约束图>

见算法导论p370-p372。

差分约束系统的最大解与最小解

算法导论只提到了约束图G(V,E):w(u,v)能对应形如x[v]-x[u] <= w(u,v)的约束系统。事实上，G(V,E):w(u,v)还能对应形如x[v]-x[u] >= w(u,v)的约束系统，只不过此时约束系统有解对应每个点的最长路径长度D[v]都存在（图中无正权环）。证明过程类似于前一种约束系统，使用到最长路的三角不等式，参见算法导论p371。

差分约束系统的最大解是针对前一种约束系统而言的，指在某个变量确定的情况下，其他所有变量都取到所能取的最大值。最小解则针对后一种约束系统，其定义可以类比。

我们将看到，在某个变量确定的情况下，约束图以超级源点（假设编号为0）为根的最短路径树所给出的解是前一种约束系统的最大解，同理，其最长路径树是后一种约束系统的最小解。

我们用前面一条来说明，后面一条的可以类比得到。假设约束系统存在解，我们知道，给定超级源点的一个偏移量d[0]（即d[0]不一定为0），就能由最短路径树确定差分约束系统的一组解（树上两点间路径唯一确定）。同样的，给定最短路径树上任一个节点的值d[v]，都可以求出超级源点的偏移量d[0]，同样也确定了差分约束系统的一组解。对于从0到v的任意一条路径p(0,v1,v2,...,vN,v)，其所表示的约束式分别为：x[v1]-x[0] <= 0；x[v2]-x[v1] <= w(v1,v2)；...；x[v]-x[vN] <= w(vN,v)。叠加得到x[v]-x[0] <= w(p)，令x[0]为确定值d[0]，即x[v] <= d[0]+w(p)，p为从0到v的任意路径。取p为0到v的最短路p*，就有x[v] <= x[0]+w(p*) <= x[0]+w(p)。则当x[v]=d[0]+w(p*)时x[v]取得最大值。

 

Gratitude

感谢lxyxynt大神对我的指导！