编程之美-2.8 找到符合条件的整数

一、问题描述

    任意给定一个正整数N,求一个最小正整数M(M>1)，使得N*M的十进制形式只含1和0。

    比如 N=99,M=1 122 334 455 667 789 ,N*M=111 111 111 111 111 111;

    M就是当N=99时，符合条件的数

二、解题思路

    考虑将问题转化为：找只含有0和1的能被N整除的最小正整数。可以看出这是和原问题等价的。

    那么需要将0和1组成的所有数从小到大遍历吗? 这样的话，如果寻找的数是k位，则需要搜索2^k-1个数才能得到结果。

    这里采用的方式是在计算中保留%N的余数信息，避免不必要的计算。更形式化的论述：

    假如已遍历了所有K位(X)十进制数，而且也搜索了T=10^k（10的k+1位数的最小数），现在要考察所有k+1为数（Y）的情况。则

    Y=X+T（即所有K进制的数+10^K），如果我们将X按%N将空间分解，即将X分解成余数为（0~N-1）的等价类，则在搜索Y是只需要取X中的代表元素进行模运算，这样就将搜索时间从2^K降到N。在具体实现时每个等价类中都保存最小的元素。

三、代码实现

#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
#define N 100213
using namespace std;
vector<vector<int> >BigIntVec;
void printNum(const vector<int>& tv){
    //cout<<"print"<<endl;
    int maxIndex=tv.back();
    string numStr="";

    for(int i=0;i<maxIndex+1;i++){
        numStr+="0";
    }
    for(int i=0;i<tv.size();i++){
        numStr[maxIndex-tv[i]]='1';
    }
    cout<<"找到的最小符合条件的数为："<<endl;
    for(int i=numStr.size()-1;i>=0;i--){
        cout<<numStr[i];
    }
    cout<<endl;
}
void findNum(){
    for(int i=0;i<N;i++){
        vector<int>tt;
        BigIntVec.push_back(tt);
    }
    BigIntVec[1].push_back(0);
    int noUpdate=0;
    for(int i=1,j=10%N;;i++,j=(j*10)%N){
        
        bool flag=false;
        if(BigIntVec[j].size()==0){
            BigIntVec[j].push_back(i);
            flag=true;
        }
        
        for(int k=0;k<N;k++){
            
            if(BigIntVec[k].size()>0&&i>BigIntVec[k].back()){
                
                int t=(k+j)%N;
                
                if(BigIntVec[t].size()==0){
                    
                    for(int tt=0;tt<BigIntVec[k].size();tt++){
                        BigIntVec[t].push_back(BigIntVec[k][tt]);
                    }
                    BigIntVec[t].push_back(i);
                    flag=true;
                }
            }
            
        }
        
        if(flag==false){
            noUpdate++;
        }else{
            noUpdate=0;
        }
        if(BigIntVec[0].size()>0||noUpdate==N){

            break;
        }
    }
    if(BigIntVec[0].size()>0){
        printNum(BigIntVec[0]);
    }else{
        cout<<"没有找到符合条件的数"<<endl;
    }
}

int main(){
    findNum();
    system("pause");
    return 0;
}

注：由于该问题涉及到的整数可能非常大，不能用内置类型int或long表示，因此程序中借助vector实现模拟整数。因为寻找的数只有1,0两种数字，为了节省空间，每个整数用vector<int>表示，vector每一元素保存1出现的位置。例如数字100101，的vector<int>表示为{0,2,5}，即出现1的位置分别为第0,2,5位。

四、程序输出结果（输入N为：100213）：