浮点数的表示和运算

目录

• 浮点数的表示
  • 浮点数基本格式
  • 浮点数的规格化
    • 规格化浮点数的特点
  • IEEE 754标准
• 浮点数的运算
  • 加减运算
    • 0.转换格式（用补码表示阶码和尾数）
    • 1.对阶
    • 2.尾数加减
    • 3.规格化
    • 4.舍入
    • 5.判溢出
  • 强制类型转换

浮点数的表示

计算机没办法表示小数点。

定点数：如纯小数0.1011和纯整数11110

科学计数法

十进制：299792458m/s=2.998*10^8m/s

浮点数

以适当的形式将比例因子表示在数据中，让小数点的位置根据需要而浮动

相当于使用两个定点数拼接而成的

浮点数基本格式

阶码E反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置；尾数M的数值部分的位数n反映浮点数的精度

例子：

注意，正数的补码还是自己

漏了1位

如此操作

浮点数的规格化

规格化：规定尾数的最高数位必须试一个有效值

左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数左移一位，阶码减1（基数为2时）

右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为01或10）时，将尾数右移一位，阶码加1（基数为2时）

右规例子：

规格化浮点数的尾数M的绝对值应满足：1/r≤|M|≤1

规格化浮点数的特点

IEEE 754标准

一般形式

隐藏表示最高位1

若尾数是xx...xxx则表示尾数1.xx..xxx

短浮点数float，单精度

长浮点数double，双精度

$$规格化的短浮点数的真值：(-1)^S*1.M*2^{E-127}$$

$$规格化的长浮点数的真值：(-1)^S*1.M*2^{E-1023}$$

浮点数的运算

加减运算

浮点数加减运算步骤：

1. 对阶
2. 尾数加减
3. 规格化
4. 舍入
5. 判溢出

0.转换格式（用补码表示阶码和尾数）

写成小数形式，尾码右移，阶码加

写成补码（取反+1），题目中要求阶符2位

扩展尾数：11.011000000

y也进行相同处理

1.对阶

使两个操作数的小数位置对齐。求阶差，小阶变大阶，尾数每右移一位，阶码+1

11111是-1的补码

向右移动了1位，阶码+1

2.尾数加减

阶码这时候已经相等了。

尾数相加减，注意，出现了溢出

3.规格化

右规，记得阶码+1

4.舍入

这里舍掉的是0，无舍入

“0”舍“1”入法：类似于十进制数运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去；被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1.这样做可能会使尾数又溢出，此时需要在做一次右规。

恒置“1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”，都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种办法同样有使尾数变大和变小的两种可能。

5.判溢出

常阶码，无溢出，结果真值为2^-3*(-0.1001111)_2

强制类型转换

机器字长：机器一次运算所能处理的数据长度

小转大：不产生任何问题

范围、精度从小到大，转换过程没有损失。

$$int：范围-2^{31}...2^{31}-1,有效数字32位$$

$$float：范围±[2^{-126}...2^{127}*(2-2^{-23})]，有效数字23+1=24位$$

int->float：可能损失精度

float->int：可能溢出及损失精度