定点数的表示和运算

目录

• 定点数的表示
  • 原码
  • 补码
  • 反码
  • 原补反相互转换
  • 移码
• 定点数的运算
  • 移位运算
    • 逻辑移位
    • 循环移位（了解即可）
  • 加减运算
    • 符号扩展
    • 溢出判断
      • 如何判断溢出？
  • 乘法运算（了解过程）
    • 原码一位乘法
    • 补码一位乘法
  • 除法运算（了解过程）
    • 原码恢复余数法
    • 原码不恢复余数法
    • 补码加减交替法
  • 强制类型转换
  • 回顾

定点数的表示

重点，难点

无符号数：整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值。

1001 1100B

寄存器的长度直接反映出了无符号数的表示范围。

表示范围：

8位二进制数：2的8次方种不同状态

0000 0000 ~ 1111 1111 = 1 0000 0000 - 1

0~255=2^8 - 1

$$n位无符号数表示范围为：0 - 2^n-1$$

有符号数：

+156D = 0 1001 1100B

-156D = 1 1001 1100B

真值 机器数

小数点怎么办？

没有专门硬件表示小数点。按约定来表示的

小数点：隐含存储（定点数：事先约定；浮点数：按规则浮动）

$$有n位尾数的定点小数：-(1-2^{-n})... 1-2^{-n}$$

$$有n位尾数的定点整数：-(2^n-1)...(2^n-1)$$

原码

有符号数：

1. 原码表示法
2. 补码表示法
3. 反码表示法
4. 移码表示法

原码：

$$[x]_原=\left\{ \begin{array}{rcl} 0,x & & {2^n ＞ x ≥ 0}\\ 2^n-x=2^n+|x| & & {0≥x＞-2^n} \end{array} \right.$$

符号+真值

如果是负数的话，前面多一个1，所以有2的n次方

2的n次方减去真值（因为是负值）部分。

实际上就是绝对值 + 1或者0

$$若字长为n+1，则原码整数的表示范围为-(2^n-1)≤x≤2^n-1（关于原点对称）$$

纯小数

原码的特点：简单、直观

补码

原码在加减的情况会出现问题

如何把减法统一成加法？

时钟，模12

补数：

一个负数加上“模”即得到该负数的补数

补码：

对于正数，补码与原码的表示相同

对于负数，原码符号位不变，数值部分按位取反，末位加1（取反加一）

$$若字长为n+1，则补码的表示范围为-2^n≤x≤2^n-1（比原码多表示-2^n）$$

小数还是纯小数

反码

对于正数，反码与原码的表示相同

对于负数，原码符号位不变，数值部分按位取反。

表示范围：原码一样

原补反相互转换

最高位为符号位，书写上用“，”（整数）或“.”（小数）将数值部分和符号位隔开。

对于正数，原码=补码=反码

对于负数，符号位为1，其数值部分

原码除符号位外每位取反末位加1->补码

原码除符号位外每位取反->反码

移码

用来干啥的？

补码是很难表示真值的大小的。

移码就是在真值X上加上一个常数（偏置值），通常这个常数去2的n次方。

只有整数才有移码

定点数的运算

1. 移位运算
2. 加减
3. 溢出判断
4. 乘除
5. 强制类型转换

移位运算

左移：绝对值扩大

右移：绝对值缩小

$$右移n位：/r^n，左移n位：*r^n$$

和加减法结合实现了乘除法

算术移位：机器码采用有符号数

符号位不参与移位

正数：原码、补码、反码都一样->左移右移都补0

负数：反码1，原码0，补码左移0右移1

原码算术移位：左移丢1，运算出错；右移丢1，影响精度。

逻辑移位

机器数采用无符号数：逻辑移位

逻辑左移时，高位移丢，低位添0

逻辑右移时，低位移丢，高位添0

循环移位（了解即可）

最高位添到最低位。

加减运算

补码：两个有符号数可以直接相加，不需要分类讨论

加减法的基本思路：

1. 转化为x+y的形式
2. 计算两个补码的相加

做题。

符号扩展

-B的补码：连通符号位一起取反

-c的补码：连同符号位一起取反。

溢出判断

如何判断溢出？

一：

两个整数相加，符号位变成1

两个负数相加，符号位变成0

逻辑表达式

与：如ABC，表示A与B与C，仅当A、B、C均为1时，ABC为1，A、B、C中有一个或多个为0，则ABC为0

或：如A+B+C,表示A或B或C，仅当A、B、C均为0时，A+B+C为0，ABC中有一个或多个是1，则A+B+C为1

非：如Abar，表示A非，取反。

二：

采用一位符号位。根据数据位进位情况判断溢出

三：

采用双符号位

正数符号为00，负数符号为11

乘法运算（了解过程）

直接做题。

原码一位乘法

计算机用两个寄存器（累加器（保存机器字长），乘商寄存器（保存乘数的绝对值））

初始累加器里的值000000.

乘商寄存器最右边那个数字是1，则竖式+x

如果是0，就+00000，竖式不变

做一次操作写进累加器里，然后竖式里、ACC、MQ右移一位。

一直从MQ里移出来的值变成乘数后，结束。

ACC和MQ里全部就是结果

补码一位乘法

Booth算法。原理不需要掌握。

第一步，先求出补码。用两位符号位

乘法运算回顾：

除法运算（了解过程）

符号位和数值位分开处理

笔算：

原码恢复余数法

符号位数值位分开处理

首先把绝对值写出来，在写出y绝对值补码，y的绝对值相反数的补码

加上y的y的绝对值相反数的补码，判断是不是大于y的

不是商0，是商1，左移

原码不恢复余数法

若余数为负数，

需要加回。

补码加减交替法

先求出补码和负数的补码（原码是要求绝对值的补码）

被除数和除数同号，则被除数减去除数；异号则被除数加上除数。

余数和除数同号，商1，余数左移一位减去除数；

余数和除数异号，商0，余数左移一位加上除数。

重复n次。

末尾恒置1

除法运算总结回顾

用十进制算不香嘛？

强制类型转换

无符号数与有符号数：不改变数据内容，改变解释方式

short x = -4321;	//short占用2个字节
unsigned short y = (unsigned short)x;

x: 1110 1111 0001 1111

y:1110 11110001 1111——真值：61215

长整数变短整数：高位截断，保留地位。

int a = 165537,b=-34991;	//int占用4个字节
short c = (short)a, d = (short)b;

a:0x000286a1

c:0x86a1——真值-31071

b:0xffff7751

d:0x7751——真值30545

短整数变长整数：符号拓展

short x = -4321;
int m = x;
unsigned short n = (unsigned short)x;
unsigned int p = n;

x:1110 1111 0001 1111

m:1111 1111 1111 1111 1110 1111 0001 1111——真值-4321

n:1110 1111 0001 1111——真值61215

p:0000 0000 0000 0000 1110 1111 0001 1111——真值61215

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