堆排序

堆排序

选择排序：

1. 简单选择排序
2. 堆排序

选择排序：每一趟在待选择元素中选取关键字最小（或最大）的元素加入有序子序列

难理解！！

什么是“堆（Heap）”？

若n个关键字序列L[1...n] 满足下面某一条性质，则称为堆（Heap）：

1. 若满足：L(i)≥L(2i) 且L(i)≥L(2i+1) (1≤i≤n/2) ——大根堆（大顶堆）
2. 若满足：L(i)≤L(2i) 且L(i)≤L(2i+1) (1≤i≤n/2) ——小根堆（小顶堆）

大根堆：完全二叉树中，根≥左、右

相应的小根堆，就是根节点小于左右两边的结点。

如何基于“堆”进行排序

堆顶元素关键字最大

建立大根堆

根≥左、右

思路：把所有非终端结点都检查一遍，是否满足大根堆的要求，如果不满足，则进行调整

在顺序存储的完全二叉树中，非终端节点n/2

检查当前节点是否满足跟≥左、右

若不满足，将当前结点与更大的一个孩子互换。

• i的左孩子——2i
• i的右孩子——2i+1
• i的父节点——i/2向上取整

更小的元素“下坠”可能导致下一层的子树不符合大根堆的要求

代码实现

//建立大根堆
void BildMaxHeap(int A[],int len){
    for(int i=len/2;i>0;i--)	//从后往前调整所有非终端节点
        HeadAdjust(A,i,len);
}
 
//将以k为根的子树调整为大根堆
void HeadAdjust(int A[],int k,int len){
    A[0] = A[k];				//A[0]暂存子树的根节点
    for(int i=2*k;i<=len;i*=2){	//沿key较大的子节点向下筛选
        if(i<len&&A[i]<A[i+1])	
            i++;				//取key较大的子节点的下标
        if(A[0]>=A[i])	break;	//筛选结束
        else{
            A[k]=A[i];			//将A[i]调整到双亲结点
            k=1;				//修改k值，以便
        }
    }
    A[k]=A[0];					//被筛选结点的
}

基于大根堆进行排序

选择排序：每一趟在待排序元素中选取关键字最大的元素加入有序子序列

堆排序：每一趟将堆顶元素加入有序子序列（与待排序序列中的最后一个元素进行交换）

并将待排序元素序列再此调整为大根堆（小元素不断“下坠”）

注意：基于“大根堆”的堆排序得到“递增序列”

代码实现

//建立大根堆
void BildMaxHeap(int A[],int len){
    for(int i=len/2;i>0;i--)	//从后往前调整所有非终端节点
        HeadAdjust(A,i,len);
}
 
//将以k为根的子树调整为大根堆
void HeadAdjust(int A[],int k,int len){
    A[0] = A[k];				//A[0]暂存子树的根节点
    for(int i=2*k;i<=len;i*=2){	//沿key较大的子节点向下筛选
        if(i<len&&A[i]<A[i+1])	
            i++;				//取key较大的子节点的下标
        if(A[0]>=A[i])	break;	//筛选结束
        else{
            A[k]=A[i];			//将A[i]调整到双亲结点
            k=1;				//修改k值，以便
        }
    }
    A[k]=A[0];					//被筛选结点的
}
 
//堆排序的完整逻辑
void HeapSort(int A[],int len){
    BuildMaxHeap(A,len);		//初始建堆
    for(int i=len;i>1;i--){		//n-1趟的交换和建堆过程
        swap(A[i],A[1]);		//堆顶元素和堆底元素交换
        HeadAdjust(A,1,i-1);	//把剩余的待排序元素整理成堆
    }
}

i指向当前待排序元素序列中的最后一个（堆底元素）

算法效率分析

下方有两个孩子，则“下坠“一层，需要对比关键字两次

下方只有一个孩子，则”下坠“一层，对比关键字一次

结论：一个结点，每”下坠“一层，最多只需要对比关键字2次

若树高为h，某节点在第1层，则将这个结点向下调整最多只需要”下坠“h-i层，关键字对比次数不超过2(h-i)

$$n个结点的完全二叉树树高h=\lfloor log_2n \rfloor + 1$$

第i层最多有2^i-1个结点，而只有第1~(h-1)层的结点才有可能需要”下坠“调整

将整棵树调整为大根堆，关键字对比次数不超过

$$\sum_{i=h-1}^{1}2^{i-1}2(h-i)=\sum_{i=h-1}^{1}2^{i}(h-i)=\sum_{j=1}^{h-1}2^{h-j}j\leq\sum_{j=1}^{h-1}\frac{j}{2^j}\le4n$$

差比数列求和（错位相减法）

建堆的过程中，关键字对比次数不超过4n，建堆时间复杂度=O(n)

共n-1趟

$$总的时间复杂度=O(nlog_2n)$$

$$堆排序的时间复杂度=O(n)+O(nlog_2n)=O(nlog_2n)$$

$$堆排序的空间复杂度 = O(1)$$

稳定性

堆排序是不稳定的

知识回顾

顺便考了完全二叉树和顺序存储

练习

基于”小根堆“如何建堆、排序