拓扑排序

拓扑排序

AOV网

用顶点表示活动的网

用DAG图（有向无环图）表示一个工程。顶点表示活动，有向边<vi,vj>表示活动vi必须先于vj进行

不允许存在环路

拓扑排序

拓扑排序：在图论中，由一个有向无环图的顶点组成的序列，当且仅当满足下列条件时，称为该图的一个拓扑排序：

①每个顶点出现且只出现一次。
②若顶点在序列中排在顶点B的前面，则在图中不存在从顶点B到顶点A的路径。

或定义为：拓扑排序是对有向无环图的顶点的一种排序，它使得若存在一条从顶点A到顶点B的路径，则在排序中顶点B出现在顶点4的后面。每个AOV网都有一个或多个拓扑排序序列。

找到做事的先后顺序

拓扑排序的实现：

1. 从AOV网中选择一个没有前驱（入度为0）的顶点并输出。
2. 从网中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
3. 重复①和②直到当前的AOV网为空或当前网中不存在无前驱的顶点为止。

原图存在回路，不存在拓扑排序序列

拓扑排序代码

#define MaxVertexNum 100 //图中顶点数目的最大值
 
typedef struct ArcNode{	//边表结点
    int adjvex;			//该弧所指向的顶点的位置
    struct ArcNode *nextarc;//指向下一条弧的指针
    //InfoType info;	//网的边权值
}ArcNode;
typedef struct VNode{	//顶点表结点
    VertexType data;	//顶点信息
    ArcNode *firstarc;	//指向第一条依附该顶点的弧的指针
}VNode,AdjList[MaxVertexNum];
typedef struct{
    AdjList vertices;	//邻接表
    int vexnum,arcnum;	//图的顶点数和弧数
}Graph;					//Graph是以邻接表存储的图类型
 
bool TopologicalSort(Graph G){
    InitStack(S);	//初始化栈，存储入度为0的顶点
    for(int i=0;i<=G.vexnum;i++)
        if(indegree[i]==0)
            Push(S,i);	//将所有入度为0的顶点进栈
    int count=0;		//计数，记录当前已经输出的顶点数
    while(!IsEmpty(S)){	//栈不空，则存在入度为0的顶点
        Pop(S,i);		//栈顶元素出栈
        print[count++]=i;//输出顶点i
        for(p=G.vertices[i].firstarc;p;p=p->nextarc){
            //将所有i指向的顶点的入度减1，并且将入度为0的顶点压入栈s
            v=p->adjvex;
            if(!(--indegree[v]))
                Push(S,v);	//入度为0，则入栈
        }
    }
    if(count<G.vexnum)
        return false;	//排序失败，有向图中有回路
    else
        return true;	//拓扑排序成功
}

每个顶点都需要处理一次

每条边都需要处理一次

时间复杂度：

$$O(|V|+|E|)$$

若采用邻接矩阵法，则需要：

$$O(|V|^2)$$

逆拓扑排序

对一个AOV网，如果采用下列步骤进行排序，则称之为逆拓扑排序：

1. 从AOV网中选择一个没有后继（出度为0）的顶点并输出。
2. 从网中删除该顶点和所有以它为终点的有向边。
3. 重复①和②直到当前的AOV网为空。

补充：

逆拓扑排序的实现（DFS算法）

void DFSTraverse(Graph G){	//对图G进行深度优先遍历
    for(v=0;v<G.vexnum;++v)	
        visited[v]=FALSE;	//初始化已访问标记数据
    for(v=0;v<G.vexnum;++v)	//本代码中是从v=0开始遍历
        if(!visited[v])
            DFS(G,v);
}
void DFS(Graph G,int v){	//从顶点v出发，深度优先遍历图G
    visited[v] = TRUE;		//设已访问标记
    for(w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighor(G,v,w))
        if(!visited[w]){	//w为u的尚未访问的邻接顶点
            DFS(G,w);
        }
    print(v);
}

如何判断回路？

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