最短路径——Floyd算法

最短路径——Floyd算法

可以用来求带权图和无权图

Floyd算法：求出每一对顶点之间的最短路径

使用动态规划思想，将问题的求解分为多个阶段

第一个矩阵就是图的邻接矩阵

第二个矩阵表示两个顶点之间的中转点

遍历上一个阶段留下来的矩阵A，对于上一个矩阵A当中的每一个具体的元素我们都进行：

若 A^(k-1)[i] [j]>A^(k-1)[i] [k]+A^(k-1)[k] [j]

则 A^(k)[i] [j] = A^(k-1)[i] [k] + A^(k-1)[k] [j];

​ path^(k)[i] [j] = k

否则A^(k) 和 path^(k)保持原值

$$A^{(-1)}[2] [1]>A^{(-1)}[2] [0]+A^{(-1)}[0] [1]=11$$

$$A^{(0)}[2] [1] = 11;$$

$$path^{(0)}[2] [1] = 0;$$

$$A^{(0)}[0] [2]>A^{(0)}[0] [1]+A^{(0)}[1] [2]=10$$

$$A^{(1)}[0] [2] = 10;$$

$$path^{(1)}[0] [2] = 1;$$

$$A^{(1)}[1] [0]>A^{(1)}[1] [2]+A^{(1)}[2] [0]=9$$

$$A^{(2)}[1] [0] = 9;$$

$$path^{(2)}[1] [0] = 2;$$

Floyd算法核心代码

//。。。。准备工作，初始化矩阵A和path
for(int k=0;k<n;k++){	//考虑以vk作为中转点
    for(int i=0;i<n;i++){	//遍历整个矩阵，i为行号，j为列号
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]){	//以vk作为中转点的路径更短
                A[i][j] = A[i][k]+A[k][j];	//更新最短路径长度
                path[i][j] = k;	//中转点
            }
        }
    }
}

Floyd算法实例

练习：floyd算法用于负权图

//。。。。准备工作，初始化矩阵A和path
for(int k=0;k<n;k++){	//考虑以vk作为中转点
    for(int i=0;i<n;i++){	//遍历整个矩阵，i为行号，j为列号
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]){	//以vk作为中转点的路径更短
                A[i][j] = A[i][k]+A[k][j];	//更新最短路径长度
                path[i][j] = k;	//中转点
            }
        }
    }
}

不能解决的问题

带有“负权值回路”的图

这种图可能没有最短路径

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