哈夫曼树

哈夫曼树

重点：构造哈夫曼树

带权路径长度

结点的权：有某种现实含义的数值（如：表示节点的重要性等）

结点的带权路径长度：从树的根到该结点的路径长度（经过的边数）与该节点上权值的乘积。

树的带权路径长度：树中所有叶节点的带权路径长度之和（WPL，Weighted Path Length)

$$WPL=\sum_{i=1}^nw_il_i$$

哈夫曼树：（最优二叉树） 在含有n个带权叶节点的二叉树中，其中带权路径长度（WPL）最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树。

哈夫曼树的构造

每次先选择集合当中最小的两个，让它们成为兄弟。

两个树结合权值之和做为新根节点的权值。

n个结点，总共需要合并n-1次

每次合并都会增加多一个结点

$$WPL_{min}=1*7+2*3+3*2+4*1+4*2=31$$

1. 每个初始结点最终都会成为叶节点，且权值越小的结点到根节点的路径长度越大。
2. 哈弗曼树的结点总数为2n-1
3. 哈夫曼树中不存在度为1的结点
4. 哈夫曼树并不唯一，但WPL必然相同且为最优

哈夫曼编码

前缀编码：没有一个编码是另一个编码的前缀

哈夫曼编码可以用于数据的压缩