回溯算法

回溯法解题的关键要素

确定了问题的解空间结构后，回溯法将从开始结点(根结点)出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。开始结点成为活结点，同时也成为扩展结点。在当前的扩展结点处，向纵深方向搜索并移至一个新结点，这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前的扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前的扩展结点就成为死结点。此时应往回移动(回溯)至最近的一个活结点处，并使其成为当前的扩展结点。回溯法以上述工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。
运用回溯法解题的关键要素有以下三点：
(1) 针对给定的问题，定义问题的解空间；
(2) 确定易于搜索的解空间结构；
(3) 以深度优先方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

递归和迭代回溯

一般情况下可以用递归函数实现回溯法，递归函数模板如下：
void BackTrace(int t) {
if(t>n)
Output(x);
else
for(int i = f (n, t); i <= g (n, t); i++ ) {
x[t] = h(i);
if(Constraint(t) && Bound (t))
BackTrace(t+1);
}
}
其中，t 表示递归深度，即当前扩展结点在解空间树中的深度；n 用来控制递归深度，即解空间树的高度。当 t>n时，算法已搜索到一个叶子结点，此时由函数Output(x)对得到的可行解x进行记录或输出处理。用 f(n, t)和 g(n, t)分别表示在当前扩展结点处未搜索过的子树的起始编号和终止编号；h(i)表示在当前扩展结点处x[t] 的第i个可选值；函数 Constraint(t)和 Bound(t)分别表示当前扩展结点处的约束函数和限界函数。若函数 Constraint(t)的返回值为真，则表示当前扩展结点处x[1:t] 的取值满足问题的约束条件；否则不满足问题的约束条件。若函数Bound(t)的返回值为真，则表示在当前扩展结点处x[1:t] 的取值尚未使目标函数越界，还需由BackTrace(t+1)对其相应的子树做进一步地搜索；否则，在当前扩展结点处x[1:t]的取值已使目标函数越界，可剪去相应的子树。
采用迭代的方式也可实现回溯算法，迭代回溯算法的模板如下：
void IterativeBackTrace(void) {
int t = 1;
while(t>0) {
if(f(n, t) <= g( n, t))
for(int i = f(n, t); i <= g(n, t); i++ ) {
x[t] = h(i);
if(Constraint(t) && Bound(t)) {
if ( Solution(t))
Output(x);
else
t++;
}
}
else t− −;
}
}
在上述迭代算法中，用Solution(t)判断在当前扩展结点处是否已得到问题的一个可行解，若其返回值为真，则表示在当前扩展结点处x[1:t] 是问题的一个可行解；否则表示在当前扩展结点处x[1:t]只是问题的一个部分解，还需要向纵深方向继续搜索。用回溯法解题的一个显著特征是问题的解空间是在搜索过程中动态生成的，在任何时刻算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果在解空间树中，从根结点到叶子结点的最长路径长度为 h(n)，则回溯法所需的计算空间复杂度为 O(h(n))，而显式地存储整个解空间复杂度则需要O(2h(n))或O(h(n)!)。
 
 

子集树与排列树

当给定的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树。例如，n个物品的0-1 背包问题所对应的解空间树是一棵子集树，该类树通常有2n个叶子结点，总结点数为2n+1- 1，遍历子集树的任何算法需要的计算时间复杂度均为O(2n)。
回溯法搜索子集树的一般算法描述如下：
void BackTrace(int t) {
if(t>n)
Output(x);
else
for(int i = 0; i <= n; i++) {
x[t] = i;
if(Contraint(t) && Bound(t))
BackTrace (t + 1);
}
}
当给定的问题是确定 n 个元素满足某种性质的排列时，对应的解空间树称为排列树。排列树通常有n! 个叶子结点，遍历排列树需要的计算时间复杂度为O(n!)。
回溯法搜索排列树的算法模板如下：
void BackTrace(int t) {
if(t>n)
Output(x);
else
for(int i = 0; i <= n; i++) {
Swap(x[t], x[i]);
if(Contraint (t) && Bound (t))
BackTrace(t + 1);
Swap(x[t], x[i]);
}
}
posted @ 2018-03-04 09:37  JetHu  阅读(1677)  评论(0)  编辑  收藏  举报