拉格朗日插值

拉格朗日插值#

基本介绍#

• 对于一个 $n$ 次多项式 $f(x)=\sum\limits_{i=0}^nf_ix^i$，给出其 $n+1$ 个位置上的值，即 $\forall 1\leq i\leq n+1,f(x_i)=y_i$，你需要对于给定的 $X$，求出 $f(X)$ 的值。

仿照中国剩余定理，构造 $g_i(x)$ 使得 $g_i(x_j)=[i=j]$，具体构造为 $$g_i(x)=\prod\limits_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$ 。

这个构造不难证明是符合要求的：

当 $x=x_i$ 时，所有分子分母都相同，$g_i(x)=1$。

当 $x=x_j(i\neq j)$ 时，一定存在一项分子为 $0$ ，故$g_i(x)=0$。

那么 $f(x)=\sum\limits_{i=1}^{n+1}y_ig_i(x)$。

暴力带入计算的复杂度为 $\Theta(n^2)$。

P4781 【模板】拉格朗日插值#

特殊情况#

实践中经常有 $x_i=i$ ，此时我们尝试化简一下上面的式子：

$$g_i(x)=\prod\limits_{j\neq i}\frac{x-j}{i-j}=\prod\limits_{j=1}^{i-1}\frac{x-j}{i-j}\prod\limits_{j=i+1}^{n+1}\frac{x-j}{i-j}=\frac{1}{(i-1)!}\prod\limits_{j=1}^{i-1}(x-j)\frac{(-1)^{n+1-i}}{(n+1-i)!}\prod\limits_{j=i+1}^{n+1}(x-j)$$

$O(n)$，预处理 $(x-j)$ 的阶乘，阶乘逆元，前缀积和后缀积，就可以做到 $\Theta(1)$ 查询 $g_i(X)$了。

总复杂度 $\Theta(n)$。

CF622F The Sum of the k-th Powers#

可以证明自然数幂和是关于 $n$ 的 $k+1$ 次多项式，我们取 $n+2$ 个位置 $x=1,2,3,\dots n+2$，计算出其函数值，之后应用上述拉插求出答案即可。

复杂度 $\Theta(k)$。

CF1817C#

优化 DP#

CF995F Cowmpany Cowmpensation#

暴力 $dp$ 是 $O(nD)$ 的，要优化。

硬组合容斥应该也行，但是不够无脑。

因为本质不同的值只有 $\Theta(n)$ 种，所以 $dp$ 值是一个关于 $D$ 的 $n$ 次函数，那么带入 $n+1$ 个 $D$ 值求出 $dp$，然后插出来就行。

复杂度 $\Theta(n^2)$。

P4463 [集训队互测 2012] calc#

思路差不多。

分段插值#

[APIO2016] 划艇#

优化暴力 $dp$，把每一段拿出来跑插值即可。

[省选联考 2022] 填树#

考虑钦定最小值 $l$，算出所有值都在 $[l,l+K]$ 中的方案数，然后容斥减掉 $[l+1,l+K]$ 中的方案数。

考虑对于一个节点，对于不同的 $l$ 产生的贡献是一个分 $5$ 段的一次函数，那么把所有节点的段点拿出来总共就会把值域分成 $O(n)$ 段，每段内所有节点都是一次函数，乘起来就是 $n$ 次函数。

$n$ 次函数的前缀和是 $n+1$ 次函数，因此我们把每一段内拿出来做一个拉格朗日插值就可以了，第二问同理。

复杂度 $\Theta(n^3)$。

[NOI2019] 机器人#

与上一题套路差不多，分段之后每段内拉插优化 $dp$ 即可。

P10008 [集训队互测 2022] Range Minimum Element#

更进一步#

如果我们不只满足于求 $f(X)$，而是想要求出 $f_0,f_1\dots f_n$，怎么办？

暴力是 $O(n^3)$ 的。

考虑先 $O(n^2)$求出 $F(x)=\prod\limits_{i=1}^n(x-x_i)$，然后每次就是要查询 $\frac{F(x)}{(x-x_i)}$，短除法就行。

复杂度 $O(n^2)$。

这种东西经常可以优化一些卷积式。

对于多项式 $F(x),G(x)$，如果我们求出 $f(i)=\sum\limits_jF_ji^j,g(i)=\sum\limits_jG_ji^j$，那么 $(f\times g)(i)=f(i)g(i)$，然后再插值还原出系数就行。

当然这样还是 $O(n^2)$ 看起来没啥用。

但是如果我们要计算多项式 $F_1\times F_2\dots \times F_m$，每个多项式次数为 $n$，那么暴力卷积复杂度是 $O(mn^2)$，而该做法就可以做到 $O(nm)$。

CF1874E Jellyfish and Hack#

暴力 $dp$ 是 $O(n^6)$ 的，瓶颈在于卷积，我们带入一些点值，然后把 $dp$ 值看做多项式的系数，这样中间的所有卷积都转化为了点值的乘法，这样复杂度 $\Theta(n^4)$。

CF917D Stranger Trees#

将树边的权值设为 $x$，非树边设为 $1$，那么矩阵树定理求出的答案多项式的 $k$ 次项系数就是有恰好 $k$ 条树边的方案数，

暴力维护多项式不可接受，因此带入点值运算，最后拉插还原。

复杂度 $O(n^4)$。

[省选联考 2024] 重塑时光#