动态dp

动态DP

基础概念#

从一道简单的问题说起#

• 有一个长度为 $n$ 的序列 $a_i$，每个数可以选或者不选，但相邻两个数不能同时选，最大化选出的数的和。

有一个简单的 $dp$，设 $f_{i,0/1}$ 表示前 $i$ 个数，第 $i$ 个数是否选了的最大价值，转移时

• $f_{i,1}=f_{i-1,0}+a_i$
• $f_{i,0}=\max(f_{i-1,0},f_{i-1,1})$

现在把这个问题加强一下：

• 有一个长度为 $n$ 的序列 $a_i$，每个数可以选或者不选，但相邻两个数不能同时选，最大化选出的数的和，需要支持单点修改和对区间查询。

我们可以把转移写成矩阵的形式：

$$\begin{bmatrix} f_{i,0}&f_{i,1}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{i-1,0}&f_{i-1,1}\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0&a_i\\ 0&-\infty\\ \end{bmatrix}$$

其中矩阵乘法定义为 $(\max,+)$ 乘法。

不妨令

$$M_i= \begin{bmatrix} 0&a_i\\ 0&-\infty\\ \end{bmatrix}$$

那么答案可以写成

$$\begin{bmatrix} 0&0\\ \end{bmatrix} \times \prod\limits_{i=1}^nM_i$$

现在是单点修改，区间查询，我们可以用线段树维护区间内的 $M_i$ 的乘积，因为矩阵乘法有结合律所以这样做是正确的。

这样子就可以在 $\Theta(n\log n)$ 复杂度内解决这个问题。

类似上面的过程，在解决动态，范围查询的动态规划问题时，用数据结构维护矩阵乘法的方式也被称为动态 dp，也可以简称为 ddp。

练习 [ABC246Ex] 01? Queries#

练习 CF750E New Year and Old Subsequence#

树上的情况（静态）#

P5024 [NOIP2018 提高组] 保卫王国#

设 $f_{x,0/1}$ 表示 $x$ 子树内 , $x$ 是否选了的最小代价，转移是显然的。

同时换根 dp 求出 $g_{x,0/1}$ 代表 $x$ 子树外，$x$ 是否选了的最小代价。

询问时，把所有点拆成 $a$ 子树内，$b$ 子树内，$lca(a,b)$ 的子树外，$a\to b$ 的路径上。

前三者分别是 $f_a,f_b,g_{lca(a,b)}$，对于后者，我们考虑倍增，设 $F_{x,k,0/1,0/1}$ 表示 $x$ 到 $x$ 的 $2^k$ 级祖先这段范围内（不算 $x$ 子树，但是算路径上其他点的子树），$x$ 是否选了，$x$ 的 $2^k$ 级祖先是否选了的最小代价。

那么询问时倍增出一段链上的 $F$ 即可，复杂度 $\Theta((n+m)\log n)$。

练习 P8820 [CSP-S 2022] 数据传输#

树上的情况（动态）#

P4719 【模板】"动态 DP"&动态树分治#

没有修改时，设 $f_{x,0/1}$ 表示 $x$ 子树内，节点 $x$ 是否选了的最大权值和，转移是显然的：

• $f_{x,0}=\sum\limits_{y\in son_x}\max(f_{y,0},f_{y,1})$。
• $f_{x,1}=\sum\limits_{y\in son_x}f_{y,0}+a_x$。

但是树的结构不太好维护信息，因此考虑做一下轻重链剖分，设 $h_x$ 为 $x$ 的重儿子。

现在考虑把每个点的 dp 写成关于其重儿子信息的矩阵，轻儿子的信息暴力维护。

对于轻儿子，维护

$w_{x,0}=\sum\limits_{y\in son_x\& y\neq h_x}\max(f_{y,0},f_{y,1})$。

$w_{x,1}=\sum\limits_{y\in son_x\& y\neq h_x}f_{y,0}$。

那么每条重链上的转移可以写成：

$$\begin{bmatrix} f_{x,0}&f_{x,1}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{h_x,0}&f_{h_x,1}\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} w_{x,0}&w_{x,1}+a_x\\ w_{x,0}&-\infty\\ \end{bmatrix}$$

此时就可以维护每条重链的乘积了。

单点修改时，注意到只有 $x$ 到根这条路径上的点的信息需要修改，并且 $w$ 会发生变化的点一定只有每条重链的链顶的父亲，一共不超过 $\Theta(\log n)$ 个点，每次修改过 $w$ 之后重新更新一下所在重链的线段树的区间矩阵，再修改该重链链顶父亲的 $w$，以此类推，需要修改 $\Theta(\log n)$ 次线段树，因此复杂度为 $\Theta(m\log^2 n)$。

练习 P6021 洪水#

全局平衡二叉树#

全局平衡二叉树是一个可以将普通树剖套线段树变成 1log 的东西。

还是轻重链剖分，对于每条重链，建立一棵特殊的线段树。

设 $s_i$ 为 $i$ 的轻子树大小，每次选取 $s$ 的带权中点作为分界线递归。

考虑复杂度，定义一个线段树节点的重量为区间内所有点的轻子树大小和，定义一个线段树叶子的重量为轻子树的大小和，容易发现每次跳父亲重量倍增，因此只会跳 $\Theta(\log n)$ 次。

P4751 【模板】"动态DP"&动态树分治（加强版）#

进阶题目#

CF1286D LCC#

考虑最先碰撞的一定是相邻两个粒子，具体的，可以相遇，向左追击，向右追击三种。

把所有碰撞所需时间排序，枚举最先碰撞的是哪种情况，那么就是要求时间更小的碰撞都不发生的概率。

相当于有若干限制，形如 $i,i+1$ 不能同时选 $x$ 和 $y$，记为 $ok_{i,x,y}=0$。

那么考虑依旧维护矩阵乘积，转移可以写成

$$\begin{bmatrix} f_{i,0}&f_{i,1}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{i-1,0}&f_{i-1,1}\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} p_{i,0}\times ok_{i-1,0,0}&p_{i,1}\times ok_{i-1,0,1}\\ p_{i,0}\times ok_{i-1,1,0}&p_{i,1}\times ok_{i-1,1,1}\\ \end{bmatrix}$$

单点更新，全局查询，写一个线段树即可。

复杂度 $\Theta(n\log n)$。

P4426 [HNOI/AHOI2018] 毒瘤#

题目保证了 $m-n\leq 10$，也就是说，如果我们找出一颗生成树，那么只会有不超过 $11$ 条非树边。

考虑容斥，$2^{m-(n-1)}$ 枚举每条非树边是否被钦定，对于每条非树边，钦定它连着的两个点同时被选，那么现在问题就是，对于一棵树，每次钦定两个点必须选，或者取消钦定，求这棵树的独立集个数。

用树剖/全局平衡二叉树维护动态 dp 即可。

CF573D Bear and Cavalry#

P6666 [清华集训2016] 数据交互#

ZJOI2022 深搜#