残阳褪去纯白的地平线，烟火绽放燃尽的灼之花

欧拉回路

感觉自己学了个假的欧拉回路。

trick 1#

给定一个图，我们需要给每个边定向，使得每个点入度与出度差不超过 $1$ 。

$sol:$

首先，因为有奇数点的存在，我们不能直接构造出欧拉回路。所以我们建立一个虚点，然后从所有奇数点和虚点连边，显然此时所有点度数都为偶数，我们跑欧拉回路求一组解，容易验证符合要求。

应用

CF547D Mike and Fish #

考虑建立行-列的二分图，每个点就变成了一条边，我们跑一遍上述定向过程，然后把从左到右的边定位蓝色，反之为红色，显然符合要求。

CF429E Points and Segments #

考虑差分一下，那么就变成了 $l_i，r_{i}+1$ 单点加减。
对于每个位置，求出其被多少个区间覆盖了。
假设所有点都被偶数个区间覆盖了，那么最终一定是 $0$ ，也就是差分数组是 $0$ ，那么我们连一条 $l_i\to r_i+1$ 的边，跑欧拉回路，根据边的方向加一减一一定是对的。
如果被奇数的区间覆盖，我们加一个区间 $[i,i]$ 即可，注意需要离散化。

trick2#

特殊情况下解决哈密顿回路问题。

CF325E The Red Button #

首先容易证明 $n$ 为奇数无解，否则令 $m=n/2$ 。
关键性质， $x,x+m$ 拥有相同的入边，出边集合，其中 $x\in [0,m)$ 。也就是说这对点某种程度上可以看成一个点
那么我们建一个 $m$ 个点的图，每个点实际代表一对点 $[0,m)$ 。然后从 $x$ 向 $2x\bmod m,2x+1\bmod m$ 连边跑欧拉回路，正确性证明比较显然。

ZR2482 飞毯#

就是让你构造一个长度为 $n$ 的 $01$ 字符串使得本质不同子串数量最大。
首先我们找一下答案的上界，显然有一个： $\sum_i\min(2^i,n-i+1)$ ，接下来我们证明可以取到它。

求出满足 $2^k+k-1\leq n$ 最大的 $k$ ，那么我们只需要要求长度为 $k$ 的串都出现，长度为 $k+1$ 的串两两不同即可。

我们把每个长度为的区间看成一个数，然后从向 $2x\bmod 2^{k+1},2x+1\bmod 2^{k+1}$ 连边，现在我们需要在找一条长度为 $n-k$ 的不经过重复点的路径，使得 $x,x+2^k$ 至少出现一个。

考虑仿照上题做法构造一个 $2^k$ 的点的哈密顿环，此时可以发现把这个环当成长度为 $k+1$ 时， $x,x+2^k$ 恰好有一个已经确定出边了，那么因为出边集合相同，另一个也确定了。这样会形成若干个环，其中有一个长度为 $2^k$ 的大环，并且 $x,x+2^k$ 恰好一个在大环上。

注意假设 $x,x+2^k$ 现在不在一个环上，交换 $x,x+k$ 的出边可以使他们的环合并，那么我们不断合并环直到环长 $\geq n-k$ ，此时因为之前的环长 $<n-k$ 且满足 $x,x+2^k$ 至少出现了依次，我们只需要从之前的环的起点开始选，这样一定能把之前的环包上，就合法了。。

复杂度线性。

trick3#

一类与差的绝对值有关的最优化问题。

题意就是，你在数轴上游走，向左走代价为 $1$ ，向右走没有代价，还有 $m$ 条有向特殊边必须经过恰好一次，问最优代价。
考虑最终你游走的过程，如果 $i\to i+1$ 走了 $c$ 次，就连 $c$ 条 $i\to i+1$ 的边， $i+1\to i$ 同理，那么就是要求加最少代价的边使得存在欧拉路径。
路径是不太好处理的，注意到我们可以加一条 $inf$ 到 $1$ 的边不影响答案，因此可以变成询问欧拉回路。
对于相邻两条边 $i\to i+1$ ，我们求出它被特殊边覆盖的次数（从右向左是-1，从左向右是+1） $w$ ，如果 $w>0$ ，我们需要再加入 $w$ 条向 $i+1\to i$ 的边，代价为 $w$ ，否则假如 $i\to i+1$ 的边，不需要代价。
这样加边显然是最优的，并且满足了欧拉回路的一个限制：所有点度数都是偶数。
但是还要联通才能有欧拉回路，于是我们还要加一些边使得图联通，显然只会加在相邻两点之间，一去一来。然后我们把这些边跑一个最小生成树使得图联通即可。