雅礼集训 2018 Day4

cube

考虑 $n$ 维基础图形, 它的所有点集可以用向量 $(0/1,0/1,\dots,0/1)$ 来表示.
考虑用它来表示线段, 相当于在原来的向量里任取一个位置出来, 这个位置取遍 $0/1$ 来表示两个点构成的线段, 其他位置的选择代表着不同位置的线段.
考虑用它来表示正方形, 相当于在原来的向量里任取两个位置出来, 这两个位置取遍 $0/1$ 来表示两个线段集构成的面, 其他位置的选择代表着不同位置的正方形.
那么拓展到 $m$ 维, 相当于取 $m$ 个出来作为基础向量, 其他部分任取代表不同的元素. 那么可以发现方案数就是 $\binom{n}{m}2^{n-m}$.
或者通过打表得出结论.
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divide

首先有个很显然的 DP: $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数, 选了 $j$ 个到 $A$ 集合的最大值, 那么如果能够快速算出一个数放入 $A$, $B$ 的贡献就做完了.
发现贡献不好算, 一般思路是用数据结构维护. 但是注意到答案和 $w_i$ 的顺序是无关的, 于是可以将 $w_i$ 重新排序使得这个贡献容易计算.
可以构造一个排列, 使得 $\forall i>1$, 或者 $\forall 1\le j<i,w_j+w_i\ge m$, 或者$\forall 1\le j<i,w_j+w_i< m$. 这样贡献就很好算了.
幸运的是, 这样的排列是可以构造出来的. 考虑将 $w_i$ 排序, 考虑 $w_1$ 和 $w_n$ 的关系, 然后可以将其转化成一个 规模为 $n-1$ 的子问题.
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magic

想到容斥, 设 $f[i]$ 表示至少 $i$ 个魔术对的方案数, 然后通过二项式反演得出答案.
然后将一个魔术对看成将这个颜色的球减少 1, 假设最终每个颜色的球有 $a_i$ 个, 那么答案就是 $\frac{(\sum a_i)!}{\prod a_i!}$.
发现每个颜色是独立的. 于是考虑其生成函数 $F(x)=\sum_{j=1}^{a_i}{\frac{\binom{a_i-1}{j-1}}{j!}x^j}$. 答案就是所有 $F(x)$ 乘积的系数(最后不要忘记乘 $i!$).
注意到 $n\le 10^5$, 那么直接分治 NTT 解决就好了.
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