小C的岛屿 题解
IOI2018 集训队作业 by 任轩笛
statement
小C有\(n\)个岛屿。她为了管理岛上的人，决定让这些岛屿连通。
每个岛屿i有一个概率值\(p_i\)，和一个友好列表\(A_i\)。
小C首先来到了1号岛屿，她会依次执行下面操作：
-
设现在在岛屿\(x\)，有\(p_x\)的概率产生一条无向边连接两个随机岛屿，这两个岛屿不会相同，也不会已经有边相连。（即在尚不存在的无向边中随机一条加入图中，不会加自环）
-
如果此时所有岛屿连通，她就会心满意足地离开。
-
否则她会在当前点的友好列表中，等概率选择一个，走到那座岛屿上。她的不满意度会+1，并重复第1步。
求小C的期望不满意度，答案模1000000007。
tutorial
设 \(f[x][m]\) 表示现在在 \(x\) 节点, 已经加入了 \(m\) 条边, 图还未联通, 不满意度的期望; 显然 \(f[1][0]\) 就是答案.
设 \(g[m]\) 表示当前有 \(m\) 条边且图没有联通, 并且加入原图中不存在的一条边后联通的概率.
发现这个式子可以分层高斯消元, 复杂度 \(O(N^5)\).
现在看如何求 \(g[m]\), 设 \(A_{n,m}\) 表示 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图方案数, \(B_{n,m}\) 表示 \(n\) 个点 \(m\) 条边联通无向图方案数:
显然, \(A_{n,m}=\binom{\binom{n}{2}}{m}\). 现在考虑如何求 \(B_{n,m}\): 这是一个经典问题, 可以做到 \(O(N^4)\). 但是由于这道题要对所有的 \((n,m)\) 都要求, 所以还是 \(O(N^5)\) 的. 但是问题不大
考虑将整个图分成若干子集, 使得不同子集间不能有边, 同一子集中不做要求. 设 \(h(k)\) 表示将整个图分成 \(k\) 个子集的方案数, 那么含有 \(x\) 个联通块的方案会被恰好算到 \(S(x,k)\) 次, 其中 \(S\) 是第二类斯特林数.
考虑到 \(\sum_{i=1}^{n}S(n,i)(-1)^{i-1}(i-1)!=[n=1]\). 那么我们将所有的 \(h(k)\) 乘上 \((-1)^{k-1}(k-1)!\) 再求和, 得到的就是只有一个联通块的方案数.
于是考虑设 \(h[i][j]\) 表示用了 \(i\) 个点, \(j\) 条边的方案数. 由于需要凑出 \((-1)^{k-1}(k-1)!\) 的系数, 可以在转移的时候枚举任意一个点的联通块(而不是1号点所在的联通块)进行转移, 这样就可以带上 \(k!\) 的系数, 最后再用一次枚举 1 号点联通块的转移即可. 最终求 \(B_{n,m}\) 的时候还要乘上 \(\binom{j}{m}\) 的系数, 因为转移的时候对于每个子集内部是作完全图来考虑的.
代码:
#include <bits/stdc++.h>
#define N 55
#define M 2555
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
inline int fsp(int x, int k = mod - 2) {
int res = 1;
while (k) {
if (k & 1) res = 1ll * res * x % mod;
x = 1ll * x * x % mod, k >>= 1;
}
return res;
}
inline void inc(int &x, long long y) {
x = (x + y) % mod;
}
int n, m, p[N], a[N][N], B[N][M], C[M][M];
int f[N][M], g[M], h[N][M];
vector<int> S[N];
inline int A(int x, int y) {
return C[C[x][2]][y];
}
void Gauss() {
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n + 1; ++j)
a[i][j] = (a[i][j] % mod + mod) % mod;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int inv = fsp(a[i][i]);
for (int j = i + 1; j <= n; ++j) {
int tmp = 1ll * inv * a[j][i] % mod;
for (int k = i; k <= n + 1; ++k)
inc(a[j][k], mod - 1ll * a[i][k] * tmp % mod);
}
}
for (int i = n; i >= 1; --i) {
for (int j = i + 1; j <= n; ++j)
inc(a[i][n + 1], mod - 1ll * a[j][j] * a[i][j] % mod);
a[i][i] = 1ll * a[i][n + 1] * fsp(a[i][i]) % mod;
}
}
int main() {
cin >> n, m = n * (n - 1) / 2;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
scanf("%d", p + i);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int k; scanf("%d", &k);
S[i].resize(k);
for (int j = 0; j < k; ++j)
scanf("%d", &S[i][j]);
}
for (int i = 0; i <= m; ++i)
for (int j = C[i][0] = 1; j <= i; ++j)
C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;
h[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 0; j <= C[i][2]; ++j)
for (int k = 1; k <= i && C[k][2] <= j; ++k)
inc(h[i][j], mod - 1ll * h[i - k][j - C[k][2]] * C[i][k] % mod);
for (int i = n; i >= 1; --i)
for (int j = C[i][2]; j >= 0; --j) {
h[i][j] = 0;
for (int k = 1; k <= i && C[k][2] <= j; ++k)
inc(h[i][j], 1ll * h[i - k][j - C[k][2]] * C[i - 1][k - 1]);
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 0; j <= m; ++j)
for (int k = j; k <= m; ++k)
inc(B[i][j], 1ll * h[i][k] * C[k][j]);
for (int i = 0, u, v; i <= m; ++i) {
u = 0, v = 1ll * (A(n, i) - B[n][i] + mod) % mod * (m - i) % mod;
for (int x = 1; x < n; ++x)
for (int e = 0; e <= i; ++e)
inc(u, 1ll * C[n - 1][x - 1] * B[x][e] % mod * B[n - x][i - e] % mod * x * (n - x));
g[i] = 1ll * u * fsp(v) % mod;
}
for (int j = m; j >= 0; --j) {
memset(a, 0, sizeof a);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int inv = fsp(S[i].size()), x;
x = 1ll * (mod + 1 - g[j]) * p[i] % mod * inv % mod;
a[i][i] = 1;
a[i][n + 1] = mod + 1 - p[i];
for (int k : S[i]) {
a[i][k] = 1ll * (p[i] - 1) * inv % mod;
inc(a[i][n + 1], 1ll * x * (f[k][j + 1] + 1));
}
}
Gauss();
for (int k = 1; k <= n; ++k)
f[k][j] = a[k][k];
}
return cout << f[1][0] << endl, 0;
}
