分块：2025.2 练习记录

P3372 【模板】线段树 1

虽然这是道线段树题，但是数据范围只有 \(10^5\)，拿来作为分块模板题也未尝不可。

计算出段长以后，将数列按照这个段长划分（最后一段可以不满），同时记录每个数所属段的编号。

int len;
struct Block{
	int l,r;
	LL dat,add;
}bk[N];
int idx,bel[N];
 
...
 
len=sqrt(n);
bk[++idx].l=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
	scanf("%lld",&a[i]);
	if(i-bk[idx].l+1>len)
	{
		bk[idx].r=i-1;
		bk[++idx].l=i;
	}
	bel[i]=idx;
	bk[idx].dat+=a[i];
}
bk[idx].r=n;

然后对于每一个段，记录一个 add，表示该段被整体加上某个数的次数。

• 修改：对于整段，直接加在 add 上；对于两侧非整段部分，则直接在原数组 a 上暴力累加。

• 查询：对于整段，加上该段记录的 a 之和，再加上该段 add 值乘以段长；对于非整段，暴力累加 a，注意累加的每个 a 都需要加一下该段的 add 值。

这样，修改和查询的时间复杂度都是 \(O(\sqrt{n})\)，总时间复杂度 \(O(n\sqrt{n})\)，可过。

注意：分块时一般都要特判左右边界在同一段内的情况并进行特殊处理，不要妄想你的代码能自己处理好这个情况。

P4168 [Violet] 蒲公英

题目要求求区间众数。

将数列分块以后，设查询区间为 \([l,r]\)，其中连续整块为 \([L,R]\)，则区间被分为了 \([l,L-1][L,R][R+1,r]\) 三部分，进而可以分为在整块内的部分 \([L,R]\) 和不在整块内的部分 \([l,L-1]\cup[R+1,r]\)，显然众数只有可能是整块部分的众数或者非整块部分出现的数。

对于整块部分，因为块数为 \(\sqrt{n}\)，所以可以直接预处理所有第 \(i\) 块到第 \(j\) 块的众数，总数为 \(O(n)\) 级别，运用双指针等技巧可以轻松做到 \(O(n\sqrt{n})\) 预处理。

对于非整块部分，考虑如何快速求出某一个数在某段内出现的次数。这个应该是经典技巧，我在这篇题解里就用到了：记录每一个数出现的位置并排序，通过两次二分查找找到这些位置中在所查找区间内的一段。这一段的段长就是所求的出现次数。

总时间复杂度 \(O(n \sqrt{n} \log n)\) 级别，理论上来说是会部分超时的（分块：一生之痛）。但是如果设块长为 \(l\)，那么时间复杂度拆开应该是 \(O(l \times m \log n + \frac{n^2}{l})\)，《算法竞赛进阶指南》上说取块长 \(l=\sqrt{\frac{n}{\log n}}\) 最佳（实测这样可过），我实测下来大约取 \(l=\frac{\sqrt{n}}{10}\) 左右最快，

这个最优块长的计算我现在暂时不会，到时候学会了到这里补上。

P10590 磁力块

建立一个 BFS 模型：每次取队头，用它来找可达磁石；每找到一块新磁石就将它入队。

这道题有两个参数：距离和质量。如果将所有磁石按照距离排序，那么距离可达磁石就是一段以 \(1\) 为左端点的确定区间，然而这段区间内并不是所有石头质量都满足条件。如果按照质量排序，那么距离又不都满足条件了。

我们需要找一个方法兼顾这两个参数，而这个是可以用分块实现的：将所有磁石先按照距离排序再分块，这样就可以保证块与块之间的距离参数是递增的；再对每一个块内按照质量排序，这样就可以保证块内磁石的质量参数是递增的。

这样，我们就兼顾了两个参数：从头连续多个整段内的磁石都满足距离参数，这些段内无需再考虑距离；这些整段内从头连续区间的磁石都满足质量参数，可以愉快地使用每次砍左边一段区间的方式避免重复扫描。最后一个非整段暴力处理的时间复杂度也是可以接受的 \(O(\sqrt{n})\)。