2025.2.16 闲话2：小技巧#2

分治恶心题：P7482 不条理狂诗曲。

当 \(\max\) 等函数中有多个变量不好变形时，尝试将一些变量压到一起。

例如本题简化方程：

\[\max(fl_{1,i}+fr_{0,j},fl_{0,i}+fr_{0,j},fl_{0,i}+fr_{1,j}) \]

其中可以将第一二项压在一起变成：\(\max(fl_{1,i},fl_{0,i})+fr_{0,j}\)。

然后修改状态表示，令一个新的量 \(fl'_{1,i}=\max(fl_{1,i},fl_{0,i})\)。

最后你就可以得到一个美观且易于变形的方程了：

\[\max(fl'_{1,i}+fr_{0,j},fl_{0,i}+fr_{1,j}) \]

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这里的变形技巧也很巧妙。上面的 \(\max\) 式子无法直接使用，这个时候可以分类讨论。以取左侧为例，这个式子的值为（省略 \('\) 符号）\(fl'{1,i}+fr_{0,j}\) 当且仅当：

\[fl_{1,i}+fr_{0,j} \ge fl_{0,i}+fr_{1,j} \]

移项：

\[fl_{1,i}-fl_{0,i} \ge fr_{1,j}-fr_{0,j} \]

然后令 \(s(x)=fl_{1,x}-fl_{0,x}\)，上式即为：\(s(i) \ge s(j)\)。至于取 \(fl_{0,i}+fr_{1,j}\)，不等式倒过来即可（等号不要算重）。

保证不重不漏以后，就可以排序用双指针做了。

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另外还要注意，在计算过程中一定要搞清楚方程中量的具体含义和求取要求，这道题将 \(fl\) 和 \(fr\) 压在一起都要开四个数组，再两两取最大值合并后才能达到前面不等式里的形式。