等比数列：小学奥数拾遗

好吧，我才发现我居然不会小学奥数，赶紧来补一下。

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设 \(S = \sum_{i=l}^{r} k \cdot q^i = k \cdot q^l + k \cdot q^{l+1} + \dots + k \cdot q^{r-1} + k \cdot q^r\)，

则有 \(q \times S = q \times \sum_{i=l}^{r} k \cdot q^i = \sum_{i=l+1}^{r+1} k \cdot q^i = k \cdot q^{l+1} + k \cdot q^{l+2} + \dots + k \cdot q^{r-1} + k \cdot q^r + k \cdot q^{r+1}\)

放在一起：

\[\begin{aligned} S &= k \cdot q^l + & k \cdot q^{l+1} + & k \cdot q^{l+2} + \dots + & k \cdot q^{r-1} + & k \cdot q^r\\ q \times S &= & k \cdot q^{l+1} + & k \cdot q^{l+2} + \dots + & k \cdot q^{r-1} + & k \cdot q^r + k \cdot q^{r+1} \end{aligned} \]

两式相减：

\[S - q \times S = (1-q)S = k \cdot q^l - k \cdot q^{r+1} \]

所以：

\[S = \frac{k \cdot q^l - k \cdot q^{r+1}}{1-q} = \frac{k \cdot q^{r+1} - k \cdot q^l}{q-1} \]

公式可以简化，设首项为 \(a_1 = a_l = k \cdot q^l\)，\(n=r-l+1\)，则 \(k \cdot q^{r+1} = a_1 \cdot q^n\)，\(a_l = a_1\)：

\[S = \frac{a_1 \cdot q^n - a_1}{q-1} = \frac{a_1(q^n-1)}{q-1} \]

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总结：若等比数列第一项为 \(a_1\)，公比为 \(q\)，那么有：

• 第 \(n\) 项：\(a_n = a_1 \times q^{n-1}\)；
• 前 \(n\) 项和：$$\boxed{ S = \dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}}$$。

排列组合题必备！

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\(2025.2.28\) 更新：看到了《具体数学》上一种更加高端的证明方法。

设 \(S_n = \sum_{i=0}^{n} k \cdot q^i\)，那么有：

\[S_{n+1} = S_n + k \cdot q^{n+1} = \sum_{i=0}^{n+1} k \cdot q^i = k \cdot q^0 + \sum_{i=1}^{n+1} k \cdot q^i \]

因为最右侧加数：

\[\sum_{i=1}^{n+1} k \cdot q^i = q \times \sum_{i=0}^{n} k \cdot q^i = q \times S_n \]

所以有：

\[S_n + k \cdot q^{n+1} = k \cdot q^0 + q \times S_n \]

移项化简：

\[(1-q) S_n = k \cdot q^0 - k \cdot q^{n+1} = k(1-q^{n+1}) \]

即：

\[\boxed{ S_n = \frac{k(1-q^{n+1})}{1-q} } \]

这个式子和前面所得是一致的，指数不同是因为这个式子中求和有第 \(0\) 项为 \(k\)，所以实际上是求了 \((n+1)\) 项的和。