2025.2.27 闲话：普通莫队的正确与错误写法

远古错误排序

long long ago，我以为莫队就是把区间询问按照左端点为第一关键字、右端点为第二关键字排序，这样移动端点就可以做到 \(O(n\sqrt{n})\) 的时间复杂度了。事实上，如果出题人不刻意卡的话，复杂度也确实差不多是这样。然而，这个方法是可以卡的。

首先，左端点是单调的，移动次数为 \(O(n)\)，这个没毛病。

但是，对于右端点，我们有方法让它多次大跳，即构造形如以下数据：

[1,n]
[2,3]
[3,n]
[4,5]
[5,n]
...

这样，每走一次右端点都要移动约 \(n-l\) 次，全部加起来用等差数列求和公式一算，好家伙卡成 \(O(n^2)\)。

正确排序

将整个数列分为 \(\sqrt{n}\) 块，左端点在同一块内的按照右端点排序，不在的按照左端点（所在块编号）排序。这样，我们就将所有询问分为了 \(\sqrt{n}\) 组，每组内右端点单调，两个左端点距离不超过 \(\sqrt{n}\)。

在这样的数列上移动，\(n\) 个左端点每个最多移动 \(\sqrt{n}\) 即可转移到下一个询问区间；\(\sqrt{n}\) 组每组内右端点一共最多移动 \(n\) 次；共 \(\sqrt{n}\) 次跨块移动，每次最多移动 \(n\) 次。总时间复杂度 \(O(n\sqrt{n})\)。

最优块长

上面按照一般分块的想法把块长设定为 \(\sqrt{n}\)，但这样某些时候是不优的。

假设数列长为 \(n\)，询问数量为 \(m\)。设块长为 \(S\)，那么整个数列将被分为 \(\frac{n}{S}\) 块。

• 左端点：每个左端点最多移动 \(S\) 次，一共最多 \(mS\) 次；
• 右端点：每块内最多移动 \(n\) 次，数列有 \(\frac{n}{S}\) 块，所以一共最多移动 \(\frac{n^2}{S}\) 次。
• 跨块移动：共有 \(\frac{n}{S}\) 次这样的移动，每次最多移动 \(n\) 次，所以最多也是 \(\frac{n^2}{S}\) 次。

因此，时间复杂度为 \(O(\frac{n^2}{S}+mS)\)，高一不等式知识可得 \(\frac{n^2}{S}+mS \ge 2\sqrt{\frac{n^2}{S} \times mS} = 2n\sqrt{m}\)，即最优时间复杂度为 \(O(n\sqrt{m})\)。此时 \(\frac{n^2}{S}=mS\)，解得 \(S=n\sqrt{m}\)，这就是最优块长。

莫队移动顺序

记住一条就行了：先扩大区间再缩小区间。

这一条我似乎很早以前就发现了，但是现在才看到详细证明。

参考资料

• 普通莫队算法 - OI Wiki
• 莫队细讲——从零开始学莫队
• DeepSeek-R1 的回答