2025.2.17 闲话：max分类讨论处理；区间DP另一枚举顺序；改变数组顺序卡常

P6563 [SBCOI2020] 一直在你身旁

\[\min_{l≤k<r}\{ \max(f_{l,k},f_{k+1,r})+a_k \} \]

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如此篇题解所说，公式中一个 \(\max\) 让这个式子变得难以处理。

这个时候就可以考虑分类讨论，考虑当什么时候 \(\max\) 取 \(f_{l,k}\)，什么时候取 \(f_{k+1,r}\)。这样的分类讨论常常就会引出正确的结论：比如推式子推出一些性质，引出一些解决方法等。

在本题中，这样会引出这道题的二段性，从而想到对分界点左右侧做处理，即引出了正解。

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区间 DP 的常用枚举顺序为外层从小到大枚举长度 \(len\)，内层枚举左端点 \(l\)，右端点 \(r\) 由计算得来。这样可以保证枚举到的每一个区间的所有子区间都已经被访问过了。

这道题中，这样的枚举顺序不太好用，所以我在题解中学了另一种枚举方式：

• 外层从小到大枚举右端点 \(r\)，内层从大到小枚举左端点 \(l\)。

这样也可以保证枚举到的每一个区间的所有子区间都已经被访问过。

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卡常小技巧：注意到这道题中主要是对 \(f_{x,r}\) 操作，第二维在内层循环时固定。这个时候可以尝试交换 \(f\) 两个维度，用 \(f_{r,l}\) 来表示区间 \([l,r]\)，避免了 CPU 指针的大幅度跳跃，实测可以将时间缩为原来的 \(40\%\)。