扩展欧几里得算法公式快速推导

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求特解

由辗转相除法（欧几里得算法）可得 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b)\)

由裴蜀定理，存在 \(x,y\) 使得 \(xa+yb=\gcd(a,b)\)，存在 \(x',y'\) 使得 \(x'b+y'(a \bmod b)=\gcd(b,a \bmod b)\)

所以 \(xa+yb = x'b+y'(a \bmod b)\)

又因为 \(a \bmod b\) 可以写成 \(a - \left\lfloor \dfrac{a}{b} \right\rfloor \times b\)

所以 \(xa+yb = x'b + y' \left( a - \left\lfloor \dfrac{a}{b} \right\rfloor \times b \right)\)

转化右式，\(xa+yb = y'a + \left( x'- \left\lfloor \dfrac{a}{b} \right\rfloor \times y' \right) b\)

这样，左右式就变成了同一个形式，在每次进行辗转相除返回时时令：

\[\left\{ \begin{aligned} x&=y'\\ y&=x'- \left\lfloor \dfrac{a}{b} \right\rfloor \times y' \end{aligned} \right. \]

其中 \(x',y'\) 分别表示后面递归返回的 \(x,y\)。

当 \(b=0\) 时，因为 \(a+b=a=\gcd(a,0)=\gcd(a,b)\)，所以此时 \(x=1,y=1\)。

模板代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b)
	{
		int res=exgcd(b,a%b,x,y);
		int x_=x;
		x=y,y=(x_-(a/b)*y);
		return res;
	}
	else
	{
		x=1,y=1;
		return a;
	}
}

求通解

解不定方程 \(xa+yb=c\)

设 \(d=\gcd(a,b)\)，则有 \(xa+yb=d\)，用上面的 exgcd 求出一组特解为 \(x_0,y_0\)，那么有 \(x_0 a + y_0 b = d\)

左式可以转化：

\( \begin{aligned} & x_0 a + y_0 b\\ =& x_0 a + kab + y_0 b - kab\\ =& (x_0+kb)a+(y_0+ka)b = d \end{aligned} \)

两边同乘 \(\dfrac{c}{d}\)，注意这时如果 \(c\) 不整除于 \(d\)，那么方程无解。

\(\left( \dfrac{c}{d} \cdot x_0 + k \cdot \dfrac{b \cdot c}{d} \right)a + \left( \dfrac{c}{d} \cdot y_0 + k \cdot \dfrac{a \cdot c}{d} \right)b = c\)

因为 \(\dfrac{c}{d}\) 是整数，所以其可以并入到 \(k\) 里去，设 \(k' = k \times \dfrac{c}{d}\)，则：

\(\left( \dfrac{c}{d} \cdot x_0 + k' \cdot \dfrac{b}{d} \right)a + \left( \dfrac{c}{d} \cdot y_0 + k' \cdot \dfrac{a}{d} \right)b = c\)

其中 \(k'\) 可以等于任意整数，这样就求出了方程的通解：

\[\left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{c}{d} \cdot x_0 + k' \cdot \dfrac{b}{d}\\ y &= \dfrac{c}{d} \cdot y_0 + k' \cdot \dfrac{a}{d} \end{aligned} \right. \]

可以通过将 \(x\) 对 \(\dfrac{b}{d}\) 取模，将 \(y\) 对 \(\dfrac{a}{d}\) 取模的方式来取得最小解。

注意在上述内容在代码实现过程中随时可能出现负数，别忘了先加再取模。