2024牛客暑期多校训练营9 B.Break Sequence

设 \(f_i\) 表示最后一个区间以 \(a_i\) 结尾的方案总数，也即前 \(i\) 个数的方案总数。最后的答案是 \(f_n\)。

很容易得到转移方程：

\[f_i = \sum_{j=1}^{i-1}f_j \]

其中，需要保证 \(a_i \sim a_j\) 是一个合法区间才能累加，这个检查的过程可以通过 \(j\) 倒序并计算不合法的数的个数，为 \(0\) 时代表是合法区间。

时间复杂度 \(O(n^2)\)，附一份代码：

点击查看代码

#include<cstdio>
using namespace std;

const int N=2e5+5,M=15,P=998244353;
int n,a[N],m,s[M];
bool no[N];
long long f[N];
int cnt[N];

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d",&s[i]);
		no[s[i]]=true;
	}
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=n;j++)
			cnt[j]=0;
		int ins=0;
		for(int j=i;j>=1;j--) //range[j,i]
		{
			if(no[cnt[a[j]]]) ins--;
			cnt[a[j]]++;
			if(no[cnt[a[j]]]) ins++;
			if(!ins) f[i]=(f[i]+f[j-1])%P;
		}
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}

上面的代码显然会超时，如何优化？

当右端点固定的时候，合法的左端点一定构成不超过 \(m\) 个区间，我们要找出这些区间。

首先需要标记不合法的区间，每次这个区间不合法就为区间每一个元素打上一个标记。当某区间的标记数量为 \(0\) 的时候，这个区间就是合法的，可以累加到答案当中。

设置一个线段树，记录区间最小标记 mintag 和标记为最小标记的 \(f\) 值之和 dat，若最后总区间的最小标记为 \(0\)，那么代表其中有合法区间，可以直接将标记为 \(0\) 的 \(f\) 值之和作为答案，即总区间记录的 dat。

对于一个数 \(a_i\) 和一个数量限制 \(s_j\)，其对应的不合法区间只会有一个（具体见代码注释）。所以每次只需要找到这个不合法区间并标记，同时撤销先前的标记（因为随着右端点变化，不合法区间也在不断变化），就可以动态维护在这个右端点上，对于 \(a_i\) 和 \(s_j\) 的所有标记。

这样，通过动态维护所有的标记并每次都将 \(f\) 值加入到线段树中，我们就可以用上述办法得到每次的 \(f_i\)。

代码注释写得非常详细，可供参考：

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;

const int N=2e5+5,M=15,P=998244353;
int n,a[N],m,s[M];
long long f[N]; //f[i]表示前i个数分段的方案数 

namespace SegmentTree{

struct SegmentTree{
	int l,r;
	int dat;
	int add,mintag;
	/*
	 * mintag记录区间最小标记 
	 * dat记录带有区间最小标记的f值之和
	 * add作为延迟标记更新mintag 
	 */
}tree[N<<2];

void update(int p) //用子区间信息更新区间p
{
	tree[p].add=0;
	tree[p].mintag=min(tree[p<<1].mintag,tree[p<<1|1].mintag);
	//区间的最小标记为两子区间最小标记的最小值 
	if(tree[p<<1].mintag==tree[p<<1|1].mintag)
		tree[p].dat=(tree[p<<1].dat+tree[p<<1|1].dat)%P;
	//如果两子区间的最小标记相同，就可以合并两个区间的最小标记元素之和 
	else
	{
		if(tree[p<<1].mintag<tree[p<<1|1].mintag) tree[p].dat=tree[p<<1].dat;
		else tree[p].dat=tree[p<<1|1].dat;
		/*
		 * 不同的话取最小标记更小的子区间的最小标记元素之和
		 * 因为上面总区间的最小标记就是由这个最小标记更小的子区间更新而来
		 * 所以这里的最小标记元素和也需要跟随这个子区间 
		 */
	}
	return;
}
void spread(int p) //下传延迟标记 
{
	if(tree[p].add)
	{
		tree[p<<1].add+=tree[p].add;
		tree[p<<1|1].add+=tree[p].add;
		tree[p<<1].mintag+=tree[p].add;
		tree[p<<1|1].mintag+=tree[p].add;
		tree[p].add=0;
	}
	return;
}

void Build(int l,int r,int p=1)
{
	tree[p].l=l,tree[p].r=r;
	if(l==r) return;
	int mid=l+r>>1;
	Build(l,mid,p<<1),Build(mid+1,r,p<<1|1);
	return;
}
void add_range(int l,int r,int k,int p=1) //区间修改，为所有区间增加一个标记 
{
	if(l<=tree[p].l&&tree[p].r<=r)
	{
		tree[p].add+=k;
		tree[p].mintag+=k; //区间最小标记一定会被同时增加 
		return;
	}
	spread(p);
	int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
	if(l<=mid) add_range(l,r,k,p<<1);
	if(r>mid) add_range(l,r,k,p<<1|1);
	update(p);
	return;
}
void add_point(int x,int k,int p=1) //单点修改，这里用作将一个f值打入线段树中（f[x]=k） 
{
	if(tree[p].l==tree[p].r)
	{
		tree[p].dat=k; //修改此处对应的f值 
		return;
	}
	spread(p);
	int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
	if(x<=mid) add_point(x,k,p<<1);
	else add_point(x,k,p<<1|1);
	update(p);
	return;
}

} //namespace SegmentTree
using namespace SegmentTree;

vector<int> pos[N]; //pos[i][j]表示i第j次出现的位置  
int cnt[N]; //cnt[i]表示i已经出现的次数 

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	Build(0,n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&s[i]);
	f[0]=1,add_point(0,1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		pos[i].push_back(0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		pos[a[i]].push_back(i);
		cnt[a[i]]++;
		for(int j=1;j<=m;j++) //对于第j个不合法次数来说 
		{ 
			if(cnt[a[i]]>=s[j]) //不合法标记
			{
				/* 
				 * 以a[i]结尾（右端点是i），
				 * 关于a[i]和s[j]不合法（即a[i]出现的次数此时等于s[j]）
				 * 的左端点构成了一个区间，这个区间是
				 * 从“a[i]第(cnt[x]-s[j])次出现的位置”
				 * 到“a[i]第(cnt[x]-s[j]+1)次出现的位置” 
				 */ 
				int l=pos[a[i]][cnt[a[i]]-s[j]]; //进入不合法区间的位置 
				int r=pos[a[i]][cnt[a[i]]-s[j]+1]; //退出不合法区间的位置 
				add_range(l,r-1,1); //为区间打上不合法标记 
			}
			if(cnt[a[i]]>s[j]) //撤销先前的标记 
			{
				int l=pos[a[i]][cnt[a[i]]-s[j]-1];
				int r=pos[a[i]][cnt[a[i]]-s[j]];
				/* 
				 * cnt相比上一次都多减了一个1
				 * 相当于获得上一次出现时的l和r
				 */
				add_range(l,r-1,-1); //-1以抵消上次标记 
			}
		}
		if(tree[1].mintag==0)
		{
			f[i]=tree[1].dat;
			/*
			 * 此时标记为0的，即对于所有s[j]都合法的元素
			 * 就可以累加到f[i]当中，与f[i]组合成合法的区间
			 * 
			 * 所以在此处添加一个if语句判断mintag是否为0
			 * 其实更合理一些，同样可过 
			 * 至于不加为什么能过……世界未解之谜 
			 */
			add_point(i,f[i]); //将新的f值打入到线段树中 
		}
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}