2024牛客暑期多校训练营9 - VP记录

A. Image Scaling

签到题，找出举行宽高以后直接除以它们的 \(\gcd\) 使它们互质即可。

（这道题居然会有人又 WA 又 RE，我不说是谁）

点击查看代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
 
const int N=505;
int n,m,x1,y1,x2,y2;
char g[N][N];
 
int gcd(int x,int y){return y ? gcd(y,x%y) : x;}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%s",g[i]+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if(g[i][j]=='x')
			{
				x1=i,y1=j;
				break;
			}
		if(x1) break;
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		for(int j=m;j>=1;j--)
			if(g[i][j]=='x')
			{
				x2=i,y2=j;
				break;
			}
		if(x2) break;
	}
	int h=x2-x1+1,w=y2-y1+1;
	int d=gcd(w,h);
	w/=d,h/=d;
	for(int i=1;i<=h;i++)
	{
		for(int j=1;j<=w;j++)
			putchar('x');
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

B. Break Sequence

这道题有点意思，单独拎出来写了一篇题解，注释很详细：点击这里。

I. Interesting Numbers

题意：把一个数从正中间劈开，两边两个数都是平方数，这样的数在 \([L,R]\) 内有多少个？

赛时读题没读懂，以为是乘积或者加和，晕🤮。

运用前缀和的思想，这道题很容易转化成“\([1,R]\) 中满足条件的数的数量”-“\([1,L-1]\) 中满足条件的数的数量”。

首先这个数一定有 \(N\) 位，其中 \(N\) 为偶数。

因为这个数的左右两半是独立不互相影响的，所以可以分开考虑。

设右边界 \(R\) 的左右两半为 \(R1\) 和 \(R2\)，当前数 \(X\) 的左右两半为 \(X1\) 和 \(X2\)。劈成两半后最多 \(30\) 位，刚好可以用 __int128 存（最高存 \(38\) 位）。

当 \(X1<R1\) 时，\(X2\) 无论怎么取 \(X\) 都小于 \(R\)，此时：

• \(X1\) 共有 \((\lfloor\sqrt{R1-1}\rfloor+1)\) 种选择；减一是因为不能等于 \(R1\)，加一是因为可以包括 \(0\)。
• \(X2\) 共有 \((\lfloor\sqrt{10^{\frac{N}{2}}-1}\rfloor+1)\) 种选择；\((10^{\frac{N}{2}}-1)\) 可以构成 \(99 \cdots 999\) 这样的结构，加一也是因为可以包括 \(0\)。

每一个 \(X1\) 和 \(X2\) 都可以任意组合，所以这时的总选择数就是两者的乘积 \((\lfloor\sqrt{R1-1}\rfloor+1)(\lfloor\sqrt{10^{\frac{N}{2}}-1}\rfloor+1)\)。

当 \(X1=R1\) 时，首先需要保证 \(R1\) 是平方数，否则这种情况不成立，此时：

• \(X1\) 仅有一种可能。
• \(X2\) 必须小于等于 \(R2\)，所以此时 \(X2\) 共有 \((\lfloor\sqrt{R2}\rfloor+1)\) 种选择，加一同样是因为可以取到 \(0\)。

此时共有 \((\lfloor\sqrt{R2}\rfloor+1)\) 种选择。

上面两种（或当 \(R\) 不为平方数时仅第一种）情况相加就求出了 \([1,R]\) 中满足条件的数的数量；\([1,L-1]\) 同理，使 \(L1\) 不变，\(L2\) 减一再计算即可。

注意一下 \(L2=0\) 时的处理，我这里的处理可以看代码注释。

#include<cstdio>
using namespace std;
 
const int N=105;
int n;
char ls[N],rs[N];
 
__int128 sqrt_int128(__int128 x) //此处 sqrt(x<0)=-1
{
	__int128 l=-1,r=1e15+1; //不能赋为x+1！平方会爆范围！ 
	while(l+1<r) //l*l<=x; r*r>x
	{
		__int128 mid=(l+r)>>1;
		if(mid*mid<=x) l=mid; //mid*mid 会爆int128！！！ 
		else r=mid;
	}
	return l; //自动向下取整 
}
__int128 quick_pow_int128(__int128 x,__int128 y)
{
	__int128 res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1) res*=x;
		x*=x;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
__int128 get_num(int n,__int128 r1,__int128 r2)
{
	__int128 res=0;
	res += (sqrt_int128(r1-1)+1) * (sqrt_int128(quick_pow_int128(10,n>>1)-1)+1);
	res += (sqrt_int128(r1)-sqrt_int128(r1-1)) * (sqrt_int128(r2)+1); //非平方数得0，r2=-1时也得0 
	return res;
}
 
void write_int128(__int128 x)
{
	if(x>9) write_int128(x/10);
	putchar('0'+x%10);
}
int main()
{
	scanf("%d%s%s",&n,ls+1,rs+1);
	__int128 l1=0,l2=0,r1=0,r2=0;
	for(int i=1;		i<=n>>1;i++) l1=l1*10+(ls[i]-'0');
	for(int i=(n>>1)+1;	i<=n;	i++) l2=l2*10+(ls[i]-'0');
	for(int i=1;		i<=n>>1;i++) r1=r1*10+(rs[i]-'0');
	for(int i=(n>>1)+1;	i<=n;	i++) r2=r2*10+(rs[i]-'0');
	__int128 ans=get_num(n,r1,r2)-get_num(n,l1,l2-1);
	write_int128(ans);
	return 0;
}

K. Kill The Monsters

贪心，每次一定优先对最大的那个进行操作二，而操作一的次数应当是剩下所有数的最大值。

所以模拟砍最大数的过程（可以用优先队列找最大数），然后统计操作次数并对所有的 \((\max a + alr)\) 取最小值（其中 \(alr\) 表示已经进行过的操作次数）。

因为没有判断全部进行操作二的可能性而 WA 了好多发，最后应当用最终的 \(alr\) 再更新一边答案。

每次操作都将其中一个除以 \(k\)，所以时间复杂度为 \(O(N \log_K \max a_i )\)

还要注意特判 \(k=1\) 的情况，此时无法进行操作二，只需取最大值即可。

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
const int N=1e5+5;
int n;
long long k,a[N];
priority_queue<long long> pq;
 
int main()
{
	scanf("%d%lld",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
		pq.push(a[i]);
	}
	if(k==1)
	{
		printf("%lld\n",pq.top());
		return 0;
	}
	long long ans=1e18,alr=0;
	while(!pq.empty())
	{
		long long x=pq.top(); pq.pop();
		ans=min(ans,x+alr);
		x/=k;
		if(x>0) pq.push(x);
		alr++;
	}
	printf("%lld\n",min(ans,alr));
	return 0;
}