Miller-Rabbin 素性测试 和 Pollard_rho整数分解

今天学习一下Miller-Rabbin  素性测试 和 Pollard_rho整数分解。

 

两者都是概率算法。

Miller_Rabbin素性测试是对简单伪素数pseudoprime测试的改进。

（pseudoprime测试， POJ 3641 pseudoprime numbers

简单伪素数pseudoprime的原理是费马小定理的逆命题。

费马小定理：p是素数，a^n-1≡1 mod p。

逆命题几乎成立。 满足逆命题叫做以a为基的伪素数。

几乎是因为被证明存在无数多个合数满足逆命题，叫做Carmichael数。Carmichael数的密度极小，1e8范围内只有255个。

（UVa 10006 Carmichael Number

改进的测试方法的原理是欧拉给出的定理。

x²≡1 mod p^e,p是奇素数，这个方程只有两个解 x = -1和 x = 1。（还可以用了判断二次剩余

证明可以看算法导论定理31.34

这个定理的逆否命题对2也成立，也就是说模n如果有x²≡1 mod n，x ≠ 1且 x ≠ -1，那么n是合数。

利用这点可以构造一个证明n是合数的过程witness。 

bool witness(ll a,ll n)//a是1~n-1范围内随机选取的基。
{
    int t = 0;
    ll u = n-1;
    while((u&1^1)) { u>>=1; t++; } //计算n-1 = 2^t*d，用于反复平方
    ll x = powMod(a,u,n), y;
    while(t--){
        y = mulMod(x,x,n);
        if(y == 1 && x != 1 && x != n-1) return true; //如果y = x^2 = 1 mod n 存在 x != 1且 x != n-1说明是合数
        x = y;
    }
    return x != 1;
}

对于Carmichael数这种测试方法也有效，证明这里略过。

出错概率大概是1/2^k，k是测试次数。

int64的乘法可能会溢出，需要自行编写函数mul_mod()完成计算。

 

Pollard_rho整数分解

Pollard_rho是用f(x) = x^2 + c mod n 产生伪随机序列。d = gcd(y-x,n),如果 d > 1，那么 y - x是 n的一个因子q的k倍，然后再做分解就好。

循环大概会在期望Θ(sqrt(p))的复杂度找到n的一个因子p。如果不存在的话会比较慢，所以先用MillerRabbin判断一下是不是素数n。

p≤sqrt(n)， 所以有Θ(n^(1/4))。

证明没看懂。。。（似乎是k q有 sqrt(n)个， 而 y - x 的组合命中 一个 k q 期望 也是要 sqrt(n)次

序列是伪随机，c设置的不好，可能找不到因子就循环了，可以用flody判圈法。

（一般使用的是改进过的flody判圈法， y的步进是倍增的。

 

具体代码见POJ GCD & LCM inverse

 

参考资料：

《算法导论第31章 数论算法》

https://en.wikipedia.org/wiki/Pollard%27s_rho_algorithm

Pollard_rho

http://wenku.baidu.com/link?url=oaiwXWqJcPfeSfWtT7et-A3g9sFDSI3OjvmToU23rBJXwlToKaikoSrCnwRoozX24YmxDsVdwubMdu0xy3bMqI-ijcReKgMtdIlR6pEowd_