数论算法学习初步 - 《算法导论第三十一章》 基础数论概念

今天开始学习一下算导上的数论算法，做一点笔记。

一些符号约定：

d|a 表示d整除a， 模n的等价类 [a]_n= {a+kn: k属于Z}， 模n的完全剩余系则是这些等价类的集合 Z_n ={[a]_n:0≤a≤n-1}

，每个等价类都用最小的非负元素来表示则有 Z_n={0,1,..,n-1}

公约数和最大公约数

a和b的公约数d的定义: d|a 且 d|b。

重要性质： d是a和b公约数 → d|(a+b)且d|(a-b)。可以推广到a和b的线性组合d | (ax+by)，x,y是整数。

gcd(a,b)表示最大公约数。定义gcd(0,0) = 0（可以使得基本性质普遍成立

基本性质，比较简单，略

定理：a和b不全为0，gcd(a,b)是{ax+by: x,y 属于Z}中的最小元素。

证明思路：最小的线性组合用s表示，证明s≥gcd(a,b) 和 gcd(a,b)≥s。

1）gcd(a,b)≥s。 只需证明s是a和b的公约数，q = a/s， a%s = a - qs = a - q(ax+by) = a(1-qx) + b(-qy)。

a%s是a和b的线性组合，s又是线性组合最小的正数，0≤a%s<s → a%s = 0，也就是说s | a。同样可以证明 s | b。

2）s≥gcd(a,b)。s是a和b的线性组合，由公约数的重要性质，gcd(a,b)|s，且s>0 → gcd(a,b)≤s

推论: 1.gcd(a,b)是线性组合，所以a和b的任意公约数d，满足d | gcd(a,b)

        2.gcd(an,bn) = n gcd(a,b)。 gcd(an,bn) = min({anx+bny: x,y 属于整数}) = n min({anx+bny: x,y 属于整数}) = n gcd(a,b)

        3.对于任意整数n, a和b，如果n|ab且gcd(a,n) = 1,则 n | b。

（这个证明是我自己想哒，可能有不严谨的地方。k = ab/n，gcd(a,n) = ax + ny = 1 ，两边乘上k ，akx + aby = ab/n，kx + by = b/n。左边一定是个整数，得到 b/n是整数，所以n | b。我觉得把a，b，n分解了也可以证明，但是似乎没怎么用上定理

 

互质数

gcd(a,b) = 1称a和b为互质数。

定理：整数a,b,p， gcd(a,p) = 1 且 gcd(b,p) = 1，那么 gcd(ab,p) = 1。

证明思路：利用之前的结论拆成线性组合做运算 （拆成线性组合对证明太有用辣

ax + py = 1, bx′ + py′ = 1, 两式相乘整理ab(xx′) + p(ybx′ + y′ax + pyy′) = 1。找到ab 和 p的最小正线性组合 = gcd(ab,n) = 1。

两两互质，n₁, n₂ , ... , n_k,  对于任意i ≠ j, 有 gcd(n_i,n_j) = 1，称n₁, n₂ , ... , n_k两两互质

 

唯一因子分解定理

定理：任意素数p，和任意整数a,b， p|ab → p|a 或 p|b。 反证，p的约数只有1和p，如果p¦a且p¦ b，那么gcd(a,p) = gcd(b,p) = 1，推出gcd(ab,p) = 1

而p | ab 可推出 gcd(ab,p) = p。

定理：唯一因子分解定理， 合数a的质数分解式唯一。

转自Matrix大神的证明：http://www.matrix67.com/blog/archives/495

为了真正地证明，分解质因数的方法是唯一的，我们将再次用到反证法。假设存在某些数，它们有至少两种分解方法。那么根据上文提到的“非空正整数集里存在最小的元素”，一定有一个最小的数M，它能用至少两种方法表示成质数的乘积：
   M = P1 * P2 * … * Pr = Q1 * Q2 * … * Qs
下面我们将看到，这种假设会推出一个多么荒谬的结果来。不妨设P1 <= P2 <= … <= Pr, Q1 <= Q2 <= … <= Qs。显然，P1是不等于Q1的，不然两边同时约掉它，我们就得到一个更小的有两种分解方法的数。不妨设P1 < Q1，那么我们用P1替换掉等式最右边中的Q1，得到一个比M更小的数T = P1 * Q2 * Q3 * … * Qs。令M’ = M – T，我们得到M’的两种表达：    M’ = (P1 * P2 * … * Pr) – (P1 * Q2 * … * Qs) = P1 * (P2 * .. * Pr – Q2 * … * Qs)  ……  (1)    M’ = (Q1 * Q2 * … * Qs) – (P1 * Q2 * … * Qs) = (Q1 – P1) * Q2 * … * Qs  ………………  (2)     由于T比M小，因此M’是正整数。从(1)式中我们立即看到，P1是M’的一个质因子。注意到M’比M小，因此它的质因数分解方式应该是唯一的，可知P1也应该出现在表达式(2)中。既然P1比所有的Q都要小，因此它不可能恰好是(2)式中的某个Q，于是只可能被包含在因子(Q1-P1)里。但这就意味着，(Q1-P1)/P1除得尽，也就是说Q1/P1-1是一个整数，这样Q1/P1也必须得是整数。我们立即看出，P1必须也是Q1的一个因子，这与Q1是质数矛盾了。这说明，我们最初的假设是错误的。

 

练习

概述，部分条件已省略

1. a+b % a = a+b - floor((a+b)/a)*a = b

2. 反证， 假设 pk是最大的素数...

3. b = k a, c = q b → c = kq a

4.gcd(k,p) |  k， gcd(k,p) ≤ k < p → gcd(k,p) = 1

5. 公约数和最大公约数的推论3

6.这个练习好像可以是证明lucas定理中一个条件。

需证：(a+b)^p=a^p+b^p mod p。

二项式展开就好，条件已经给了：0<k<p, p|C(p,k)。

7.  x mod b = x - floor(x/b) b  ,  ( x mod b) mod a = x - floor(x/b) b - floor ( ( x - floor(x/b) b )/ a ) a。 [1]

假设b = k a, 那么 ( x - floor(x/b) b )/ a = x/a - floor(x/b) k ， 式[1] = x - floor(x/b) - floor( x/a ) + floor(x/b) = x mod a

9.10.11. （证明。。。

-------------------下面有些的题要写算法-------------------（待解决，不会

8. k > 0, a^k= n，称n是一个k次幂。如果k > 0， n > 1是k次幂，称n是非平凡幂。如何在β的多项式时间判断β位整数n是否为平凡幂。

12.设计计算β位整数除以短整数的高效算法，Θ(β²)

13.2进制转10进制。证明：如果长度β的乘除法的运算时间为M(β)，那么2进制转10进制Θ(M(β)logβ)。

（似乎是分治，T(n) = T(n/2) + ΘM(β) ≈ Θ(M(β)logβ)。