UVA11478 Halum (差分约束)
每次操作是独立的,而且顺序并不影响,作用在同一个结点上的d可以叠加,所以令x(u) = sigma(dui).
最后就是要确定所有的x(u)。
因为m越大,满足条件的边就越少,二分答案m。
对于一条边a->b,可以列出一个不等式d(a,b) +x(a)-x(b)>=m,移项可得x(b)-x(a)<=d(a,b)-m
正好满足差分约束的形式。所有的边就对应着一个差分约束系统。
差分约束有解的充要条件是不存在负环。
证明:
x(b)-x(a)<=-c,c>0,意味着x(a)至少比x(b)大c,
因为不等式的传递性,如果x(a)在一个负环上,那么意味着x(a)>x(a),这是矛盾的。
因为一开始图不一定连通,可以加一个源点和其他所有点相连,边权为0,用源点的距离表示x(i)的值,
或者sfpa的时候把所有的点加入栈中(判负环用stack比较快)
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; //#define LOCAL const int maxn = 501,maxm = 2705; int hd[maxn],nx[maxm],to[maxm],d[maxm]; int n,m; int D[maxn],vis[maxn]; int cnt[maxn]; bool spfa() { stack<int>S; memset(cnt,0,sizeof(cnt)); for(int i = 1; i <= n; i++) { vis[i] = true; D[i] = 0.; S.push(i); } while(S.size()){ int u = S.top(); S.pop(); vis[u] = false; for(int i = hd[u]; ~i; i = nx[i]){ int v = to[i]; if(D[v]>D[u]+d[i]){ D[v] = D[u]+d[i]; if(!vis[v]){ S.push(v); vis[v] = true; if(++cnt[v] > n) return true; } } } } return false; } bool P(int x) { for(int i = 0; i < m; i++) d[i] -= x; for(int i = 1; i <= n; i++) D[i] = 0; bool fg = spfa(); for(int i = 0; i < m; i++) d[i] += x; return fg; } int main() { #ifdef LOCAL freopen("in.txt","r",stdin); #endif while(~scanf("%d%d",&n,&m)){ memset(hd,-1,sizeof(hd)); int l = 1,r = 0; for(int i = 0; i < m; i++){ int u; scanf("%d%d%d",&u,to+i,d+i); nx[i] = hd[u]; hd[u] = i; r = max(r,d[i]); } if(P(l)) { puts("No Solution"); continue; } if(!P(r+1)) { puts("Infinite"); continue; } while(l<r){ int x = (l+r+1)>>1; !P(x)?l = x:r = x-1; } printf("%d\n",l); } return 0; }