Tarjan的学习笔记 求割边求割点
博主图论比较弱,搜了模版也不会用。。。
所以决心学习下tarjan算法。
割点和割边的概念不在赘述,tarjan能在线性时间复杂度内求出割边。
重要的概念:时间戟,就是一个全局变量clock记录访问结点的时间。一个无向图dfs会形成一个森林,当图只有一个连通分量时,就只有一棵树。
由于在无向图中,除了树边,其他都是反向边。可以画个图感受一下,可以反证的,如果有其他类型的边,那么dfs先沿着那些边跑图的,那么那些边就不存在。
如果结点是树根,那么它是割点的充要条件就是它有两个子结点。
定理
对于其他结点,如果他的子结点的反向边没有指向它的祖先的,那么它就是割点。证明很明显,因为无向图是没有横跨子树的边的。(对树根不成立哦~)
具体判断的时候借助时间戟,定义low(u)为u和其后代所能返回最早祖先的的dfn值,那么定理就可以等价的转化为low(v)>=pre(u)。而且如果v的后代只能返回自己,那么删除(u,v)的一条边就可以让图分连通,那么就找到了割边(桥)。
伪代码
int dfs(int u,int fa) 返回u的low值, fa是判断是不是树边的二次访问
{
记录时间戟并初始化u的low值
跑图{
如果子节点v没访问过{
dfs(v)并返回后代low值
用后代low值更新u的low值
如果 后代的low值>=pre //根据要求的是割边还是割点替换判断条件
那么u是割点 //用数组记录,因为一个割点,条件可能不只成立一次
}否则 如果是反向边 // 一.要满足v的时间戟小于u的,二.v不是u的父节点(是无向图的边的二次访问)
{
用反向边更新u的low值
}
}
用数组记录low u
返回 low u
}
对于树根可以特判,可以通过对代码的小改动来实现,做法是记录子结点数量child,初始调用时fa赋值-1,加一个判断fa<0且child == 1时iscut(u) = false
这个不能跑重边
对于有重边的图可以采用以下技巧
如果是用前向星存正反两条边是相邻并且奇偶性一定是不一样的,那么可以利用异或的开关性,来判断是不是树边
if
(i==(id^1))
continue
;
//不从i对应的边到父节点
void tarjan(int u,int fa) { dfn[u] = low[u] = ++clock; for(int i = head[i]; ~i ; i = nxt[i]){ int v = to[i]; if(!dfn[v]){ tarjan(v,u); low[u] = min(low[u],low[v]); if(low[v] > dfn[u]){ ans = min(ans,wei[i]) } }else if(v != fa) { low[u] = min(low[u],dfn[v]); } } }
如果从树根出发的话,那么有两个以上的结点,反而不是割边。(具体看想要连通哪里)