Tarjan的学习笔记 求割边求割点

博主图论比较弱，搜了模版也不会用。。。

所以决心学习下tarjan算法。

割点和割边的概念不在赘述，tarjan能在线性时间复杂度内求出割边。

重要的概念：时间戟，就是一个全局变量clock记录访问结点的时间。一个无向图dfs会形成一个森林，当图只有一个连通分量时，就只有一棵树。

由于在无向图中，除了树边，其他都是反向边。可以画个图感受一下，可以反证的，如果有其他类型的边，那么dfs先沿着那些边跑图的，那么那些边就不存在。

如果结点是树根，那么它是割点的充要条件就是它有两个子结点。

定理

对于其他结点，如果他的子结点的反向边没有指向它的祖先的，那么它就是割点。证明很明显，因为无向图是没有横跨子树的边的。（对树根不成立哦~）

 

具体判断的时候借助时间戟，定义low(u)为u和其后代所能返回最早祖先的的dfn值，那么定理就可以等价的转化为low(v)>=pre(u)。而且如果v的后代只能返回自己，那么删除(u,v)的一条边就可以让图分连通，那么就找到了割边（桥）。

伪代码

int dfs(int u,int fa) 返回u的low值, fa是判断是不是树边的二次访问
{
　　记录时间戟并初始化u的low值

　　跑图｛
　　如果子节点v没访问过｛
　　dfs(v)并返回后代low值　
　　用后代low值更新u的low值　　　　
　　如果 后代的low值>=pre 　　　　　　//根据要求的是割边还是割点替换判断条件

　　　　那么u是割点  　　　　　　　　　//用数组记录，因为一个割点，条件可能不只成立一次
　　｝否则 如果是反向边 　　　　　　　　// 一.要满足v的时间戟小于u的，二.v不是u的父节点（是无向图的边的二次访问）

　　　　　｛
　　　　　　　用反向边更新u的low值　
　　　　　｝
　　｝

　　用数组记录low u

　　返回 low u
}

对于树根可以特判，可以通过对代码的小改动来实现，做法是记录子结点数量child，初始调用时fa赋值-1，加一个判断fa<0且child == 1时iscut（u） = false

 这个不能跑重边

对于有重边的图可以采用以下技巧

如果是用前向星存正反两条边是相邻并且奇偶性一定是不一样的，那么可以利用异或的开关性，来判断是不是树边if(i==(id^1))continue;//不从i对应的边到父节点  

void tarjan(int u,int fa)
{
    dfn[u] = low[u] = ++clock;
    for(int i = head[i]; ~i ; i = nxt[i]){
        int v = to[i];
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v,u);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
            if(low[v] > dfn[u]){
                ans = min(ans,wei[i])
            }
        }else if(v != fa) {
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
}

 如果从树根出发的话，那么有两个以上的结点，反而不是割边。（具体看想要连通哪里）