基本矩阵与本质矩阵

基本矩阵与本质矩阵

基本矩阵与本质矩阵的数学推导：

假设空间中一点\(P = [X, Y, Z]^T\)。

P在相机A相平面坐标为\(P_A = [x_A, y_A, 1]^T\);

P在相机B相平面坐标为\(P_B = [x_B, y_B, 1]^T\);

相机A与相机B的内参矩阵为\(K\)，即可以假设A、B是同一个相机，但是空间位姿不同。

假设：

• \(P_A = K · (R_A · P + T_A)\) （0）
• \(P_A = K · P\) （1）

即，设\(P\)相对与相机A的旋转矩阵\(R_A\)与平移矩阵\(T_A\)为初始值（\(R_A = I, T_A = 0\)），因为总要有一个参考系，此处就是假设相机A为参考系。

对相机B又可以得到：

• \(P_B = K · (R_B · P + T_B)\) （2）

此处，\(R_B\)、\(T_B\)示在\(P\)相机B坐标系的相对于在相机A（初始）坐标系下的旋转与平移。

由（1）得到\(P = K^{-1} · P_A\) ，

代入（2）得到：

• $P_B = K · (R_B · K^{-1} · P_A + T_B) $ （3）

给"="左右左乘上\(K^{-1}\)，则有：

• \(K^{-1} · P_B = R_B · K^{-1} · P_A + T_B\) （4）

左右左乘\(T_{Bx}\) （ \(T_{Bx}\) 满足 \(T_{Bx} · C = T_B \times C\)）消去\(T_B\)，得到：

• \(T_{Bx} · K^{-1} · P_B = T_{Bx} · R_B · K^{-1} · P_A\) （5）

对（5）左右左乘\((K^{-1} · P_B)^T\)得到：

• \((K^{-1} · P_B)^T · T_{Bx} · K^{-1} · P_B = (K^{-1} · P_B)^T · T_{Bx} · R_B · K^{-1} · P_A\) （6）

由于\(T_{Bx} · (K^{-1} · P_B)\) 垂直与 \(T_B\) 与\((K^{-1} · P_B)\) ，所以（6）“=” 左边为0， 即：

• \((K^{-1} · P_B)^T · T_{Bx} · R_B · K^{-1} · P_A = 0\) （7）

整理得：

• \(P_B^T · {K^{-1}}^T · T_{Bx} · R_B · K^{-1} · P_A = 0\) （8）

得到的（8）即为最终表达式，又：

• \(F = {K^{-1}}^T · T_{Bx} · R_B · K^{-1}\) （基础矩阵）
• \(E = T_{Bx} · R_B\) （本质矩阵）

从而，\(B^T · F · P_A = 0\) （×）

极线推导：

对（×），可以知道，不同两个位姿拍摄的同一地点的两个（或一个）相机，获取的基础矩阵\(F\)是固定的。

那么，不妨代入一已知点\(P_t = [x_t, y_t, 1]^T\)，令\(P_A = P_t\)，得：

• \(P^T · F · P_t = 0\) （9）

其中\(F\)为[3 x 3]矩阵，\(P_t\)为[3 x 1]矩阵，那么\(F · P_A\) 为一个[3 x 1]矩阵，记为\(Q = [fp_1, fp_2, fp3]^T\)

又\(P^T\) 为 [1 x 3]矩阵，\(P^T = [x, y, 1]\)，则\(P · Q = 0\)展开为：

• \(x \times fp_1 + y \times fp_2 + fp_3= 0\) （10）

因\(Q\)为已知，故（10）为二元一次方程，可以确定一条直线，称为极线