PAT甲级题分类汇编——线性

本文为PAT甲级分类汇编系列文章。

 

线性类，指线性时间复杂度可以完成的题。在1051到1100中，有7道：

题号	标题	分数	大意	时间
1054	The Dominant Color	20	寻找出现最多的数	200ms
1061	Dating	20	寻找字符串中相同字符	200ms
1071	Speech Patterns	25	寻找出现最多的单词	300ms
1077	Kuchiguse	20	字符串共同后缀	150ms
1082	Read Number in Chinese	25	中文读数	400ms
1084	Broken Keyboard	20	比较两序列的差异	200ms
1095	Cars on Campus	30	模拟车辆进出	300ms

可以看到线性题一般分数不高，一般只有模拟事件的题会出30分，但也不难。

这种题一般一看就会做（最大子列和除外），难度一般在细节处理（所有PAT题都是）和时间常数上。

关于细节处理，分数低的题，本来就简单，做的时候容易想起一些细节问题，在第一次提交之前就处理好了。

关于时间限制，其他题时间限制一般都是400ms，但线性类时间更严格的比较多，这时候就要小心常数了。

 

仔细阅读了一下7道题，决定做1054、1071、1082和1095一共4道。

 

1054：

放在线性分类下，就要用线性方法做。用 std::map 做起来一看就很简单，为了挑战自己，换一种方法。

大致思路是每个维度（颜色）建立一个散列表，表中存放指向下一个维度的散列表的指针，最后一个维度存放数据。

代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <memory>

template <typename T>
using Pointer_vector = std::shared_ptr<std::vector<T>>;

int main()
{
    int m, n, total;
    std::cin >> m >> n;
    total = m * n;
    using Blue = int;
    using Green = Pointer_vector<Blue>;
    using Red = Pointer_vector<Green>;
    std::vector<Red> data(256);
    for (int cnt = 0; cnt != total; ++cnt)
    {
        int color;
        std::cin >> color;
        int red = color >> 16;
        int green = (color >> 8) % 256;
        int blue = color % 256;
        auto& red_data = data[red];
        if (!red_data)
            red_data = Red(new std::vector<Green>(256));
        auto& green_data = (*red_data)[green];
        if (!green_data)
            green_data = Green(new std::vector<Blue>(256));
        auto& blue_data = (*green_data)[blue];
        ++blue_data;
    }
    try
    {
        for (int r = 0; r != 256; ++r)
            if (data[r])
                for (int g = 0; g != 256; ++g)
                    if ((*data[r])[g])
                        for (int b = 0; b != 256; ++b)
                            if ((*(*data[r])[g])[b] > total / 2)
                                throw (r << 16) + (g << 8) + b;
    }
    catch (int res)
    {
        std::cout << res;
    }
}

对于多重循环要 break 的算法我一般用异常来做流控。这是一种备受争议的做法，因此我又想着用输出和 return 替换掉原来的 throw 语句，没想到竟然超时了！加了优化也没用。

不是说 try block会导致性能下降的吗？为什么加了异常处理以后性能反而提高？

想不通。我又用 std::map 实现了一个算法：

#include <iostream>
#include <map>

#pragma GCC optimize(O3)

int main()
{
    int m, n, total;
    std::cin >> m >> n;
    total = m * n;
    std::map<int, int> map;
    for (int cnt = 0; cnt != total; ++cnt)
    {
        int color;
        std::cin >> color;
        ++map[color];
    }
    for (const auto& pair : map)
        if (pair.second > total / 2)
        {
            std::cout << pair.first;
            return 0;
        }
    return 0;
}

一开始当然是没有 #pragma 那一行的，但是超时了，后来加上了才AC。

 

这道题告诉我们，线性题对时间要求真的很高。或许用 scanf 代替 std::cin 能让原本超时的AC吧，我没试过。

 

1071：

字符串的线性处理、std::map 的使用，这道题难度就这么多了。代码如下：

#include <iostream>
#include <string>
#include <map>
#include <cctype>

int main()
{
    std::map<std::string, int> words;
    std::string string;
    while (1)
    {
        char c = std::cin.get();
        if (std::isalnum(c))
            string.push_back(std::tolower(c));
        else
            if (!string.empty())
            {
                ++words[string];
                string.clear();
            }
        if (c == '\n')
            break;
    }
    auto max = words.cbegin();
    for (auto iter = words.cbegin(); iter != words.cend(); ++iter)
        if (iter->second > max->second)
            max = iter;
    std::cout << max->first << ' ' << max->second << std::endl;
}

值得杠一杠的是这道题是不是线性。

首先，输入是O(n)，输出是O(1)，都在线性范围内。

假设一共有a种单词，对 std::map 的操作是O(a·loga)；a种单词连起来的最小长度是O(a·loga)，n一定大于这个长度，因此这道题是线性的。

 

1082：

呵，这道题就是在考数学。但我没有把它放到数学那一类中，因为这是小学数学。

一开始觉得很难，但只要把10000以内的数字怎么读搞清楚了，这道题就差不多了。代码如下：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>

std::vector<std::string> data;

const char pinyin[10][5] =
{
    "ling",
    "yi",
    "er",
    "san",
    "si",
    "wu",
    "liu",
    "qi",
    "ba",
    "jiu"
};

void chinese(int num)
{
    int qian = num / 1000;
    num %= 1000;
    int bai = num / 100;
    num %= 100;
    int shi = num / 10;
    int ge = num % 10;
    int digit = 0;
    if (qian)
    {
        digit = 3;
        data.push_back(pinyin[qian]);
        data.push_back("Qian");
    }
    if (bai)
    {
        digit = 2;
        data.push_back(pinyin[bai]);
        data.push_back("Bai");
    }
    if (shi)
    {
        if (digit > 2)
            data.push_back(pinyin[0]);
        digit = 1;
        data.push_back(pinyin[shi]);
        data.push_back("Shi");
    }
    if (ge)
    {
        if (digit > 1)
            data.push_back(pinyin[0]);
        data.push_back(pinyin[ge]);
    }
}

int main()
{
    int num;
    std::cin >> num;
    if (num == 0)
    {
        std::cout << pinyin[0];
        return 0;
    }
    if (num < 0)
    {
        num = -num;
        data.push_back("Fu");
    }
    int yi = num / 100000000;
    int wan = num % 100000000 / 10000;
    int ge = num % 10000;
    int seg = 0;
    if (yi)
    {
        seg = 2;
        data.push_back(pinyin[yi]);
        data.push_back("Yi");
    }
    if (wan)
    {
        if (wan < 1000 && seg > 1)
            data.push_back(pinyin[0]);
        seg = 1;
        chinese(wan);
        data.push_back("Wan");
    }
    if (ge)
    {
        if (ge < 1000 && seg > 0)
            data.push_back(pinyin[0]);
        chinese(ge);
    }
    int end = data.size() - 1;
    for (int i = 0; i != end; ++i)
        std::cout << data[i] << ' ';
    std::cout << data[end];
}

这是我第一次用拼音来命名变量。我也不想这样，但谁让这道题中文背景这么明显呢？

 

1095：

这道题要求模拟车辆进出校园的过程，这类模拟一个过程的题目，我称之为模拟类题。

模拟类题的一个通用方法就是以时间为变量循环，但是这道题写着写着就用上另一种方法了，就是以对象为变量循环，这里的对象就是车辆进出记录。

题目逻辑比较复杂，大致可以分为3个步骤：

第一步，读取所有记录，并按时间顺序排序，然后按记录类型配对；

第二步，读取查询的时间，并模拟车辆进出的过程，这是模拟类题的核心（但在本题中占的比例不大）；

第三步，找出最长的停车时间，并输出对应的车牌号（老司机开车！）。

梳理完这堆逻辑以后就直接上代码吧：

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>

int read_time()
{
    int res, temp;
    std::cin >> temp;
    res = temp * 3600;
    std::cin.get();
    std::cin >> temp;
    res += temp * 60;
    std::cin.get();
    std::cin >> temp;
    res += temp;
    return res;
}

void print_time(int time)
{
    std::cout << std::setfill('0');
    std::cout << std::setw(2) << time / 3600 << ':';
    time %= 3600;
    std::cout << std::setw(2) << time / 60 << ':';
    std::cout << std::setw(2) << time % 60;
}

enum class Status
{
    in, out
};

struct Record
{
    std::string plate;
    int time;
    Status status;
    bool paired = false;
    int parking;
};

int main()
{
    int n, k;
    std::cin >> n >> k;
    std::vector<Record> records(n);
    for (auto& r : records)
    {
        std::cin >> r.plate;
        r.time = read_time();
        std::string str;
        std::cin >> str;
        r.status = str == "in" ? Status::in : Status::out;
    }
    std::sort(records.begin(), records.end(), [](const Record& _lhs, const Record& _rhs) {
        return _lhs.time < _rhs.time;
    });
    for (auto rec = records.begin(); rec != records.end(); ++rec)
        if (rec->status == Status::in)
            for (auto iter = rec + 1; iter != records.end(); ++iter)
                if (iter->plate == rec->plate && iter->status == Status::in)
                    break;
                else if (iter->plate == rec->plate && iter->status == Status::out)
                {
                    rec->paired = iter->paired = true;
                    rec->parking = iter->time - rec->time;
                    break;
                }

    auto iter = records.begin();
    int count = 0;
    for (int cnt = 0; cnt != k; ++cnt)
    {
        int time = read_time();
        for (; iter != records.end() && iter->time <= time; ++iter)
            if (iter->paired && iter->status == Status::in)
                ++count;
            else if (iter->paired && iter->status == Status::out)
                --count;
        std::cout << count << std::endl;
    }

    std::map<std::string, int> parking;
    for (const auto& rec : records)
        if (rec.paired && rec.status == Status::in)
            parking[rec.plate] += rec.parking;
    int longest = 0;
    for (const auto& car : parking)
        if (car.second > longest)
            longest = car.second;
    for (const auto& car : parking)
        if (car.second == longest)
            std::cout << car.first << ' ';
    print_time(longest);
}

这道题放在线性类，是因为配对和模拟的算法都是线性的（其实是因为我看到它是模拟类就把它分给线性类了）。

 

总之，线性类题目难度不高，但坑不少，不仅有各种边界数据，还有卡时间常数的。