多维高斯分布

高中的时候我们便学过一维正态（高斯）分布的公式：

\[N(x|u,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp[-\frac{1}{2\sigma^2}(x-u)^2] \]

拓展到高维时，就变成：

\[N(\overline x | \overline u, \Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{D/2}}\frac{1}{|\Sigma|^{1/2}}exp[-\frac{1}{2}(\overline x-\overline u)^T\Sigma^{-1}(\overline x-\overline u)] \]

其中，\(\overline x\) 表示维度为 D 的向量，\(\overline u\) 则是这些向量的平均值，\(\Sigma\) 表示所有向量 \(\overline x\) 的协方差矩阵。

本文只是想简单探讨一下，上面这个高维的公式是怎么来的。

二维的情况

为了简单起见，本文假设所有变量都是相互独立的。即对于概率分布函数 \(f(x_0,x_1,…,x_n)\) 而言，有 \(f(x_0,x_1,…,x_n)=f(x_0)f(x_1)f(x_n)\) 成立。

现在，我们用一个二维的例子推出上面的公式。

假设有很多变量 \(\overline x=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\)，它们的均值为 \(\overline u=\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix}\)，方差为 \(\overline \sigma=\begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \end{bmatrix}\)。

由于 \(x_1\)，\(x_2\) 是相互独立的，所以，\(\overline x\) 的高斯分布函数可以表示为：

\[\begin{eqnarray} f(\overline x) &=& f(x_1,x_2) \\ &=& f(x_1)f(x_2) \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_1^2}}exp(-\frac{1}{2}(\frac{x_1-u_1}{\sigma_1})^2) \times \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_2^2}}exp(-\frac{1}{2}(\frac{x_2-u_2}{\sigma_2})^2) \\ &=&\frac{1}{(2\pi)^{2/2}(\sigma_1^2 \sigma_2^2)^{1/2}}exp(-\frac{1}{2}[(\frac{x_1-u_1}{\sigma_1})^2+(\frac{x_2-u_2}{\sigma_2})^2]) \end{eqnarray} \]

接下来，为了推出文章开篇的高维公式，我们要想办法得到协方差矩阵 \(\Sigma\)。

对于二维的向量 \(\overline x\) 而言，其协方差矩阵为：

\[\begin{eqnarray} \Sigma&=&\begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} \end{bmatrix} \\ &=&\begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{2}^2 \end{bmatrix} \\ \end{eqnarray} \]

(不熟悉协方差矩阵的请查找其他资料或翻看我之前的文章)

由于 \(x_1\)，\(x_2\) 是相互独立的，所以 \(\sigma_{12}=\sigma_{21}=0\)。这样，\(\Sigma\) 退化成 \(\begin{bmatrix} \sigma_1^2 & 0 \\ 0 & \sigma_{2}^2 \end{bmatrix}\)。

则 \(\Sigma\) 的行列式 \(|\Sigma|=\sigma_1^2 \sigma_2^2\)，代入公式 (4) 就可以得到：

\[f(\overline x)=\frac{1}{(2\pi)^{2/2}|\Sigma|^{1/2}}exp(-\frac{1}{2}[(\frac{x_1-u_1}{\sigma_1})^2+(\frac{x_2-u_2}{\sigma_2})^2]) \]

这样一来，我们已经推出了公式的左半部分，下面，开始处理右面的 \(exp\) 函数。

原始的高维高斯函数的 \(exp\) 函数为：\(exp[-\frac{1}{2}(\overline x-\overline u)^T\Sigma^{-1}(\overline x-\overline u)]\)，根据前面算出来的 \(\Sigma\)，我们可以求出它的逆：\(\Sigma^{-1}=\frac{1}{\sigma_1^2 \sigma_2^2} \begin{bmatrix} \sigma_2^2 & 0 \\ 0 & \sigma_1^2 \end{bmatrix}\)。

接下来根据这个二维的例子，将原始的 \(exp()\) 展开：

\[\begin{eqnarray} exp[-\frac{1}{2}(\overline x-\overline u)^T\Sigma^{-1}(\overline x-\overline u)] &=& exp[-\frac{1}{2} \begin{bmatrix} x_1-u_1 \ \ \ x_2-u_2 \end{bmatrix} \frac{1}{\sigma_1^2 \sigma_2^2} \begin{bmatrix} \sigma_2^2 & 0 \\ 0 & \sigma_1^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1-u_1 \\ x_2-u_2 \end{bmatrix}] \\ &=&exp[-\frac{1}{2} \begin{bmatrix} x_1-u_1 \ \ \ x_2-u_2 \end{bmatrix} \frac{1}{\sigma_1^2 \sigma_2^2} \begin{bmatrix} \sigma_2^2(x_1-u_1) \\ \sigma_1^2(x_2-u_2) \end{bmatrix}] \\ &=&exp[-\frac{1}{2\sigma_1^2 \sigma_2^2}[\sigma_2^2(x_1-u_1)^2+\sigma_1^2(x_2-u_2)^2]] \\ &=&exp[-\frac{1}{2}[\frac{(x_1-u_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(x_2-u_2)^2}{\sigma_2^2}]] \end{eqnarray} \]

展开到最后，发现推出了公式 (4)。说明原公式 \(N(\overline x | \overline u, \Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{D/2}}\frac{1}{|\Sigma|^{1/2}}exp[-\frac{1}{2}(\overline x-\overline u)^T\Sigma^{-1}(\overline x-\overline u)]\) 是成立的。你也可以将上面展开的过程逆着推回去，一样可以从例子中的公式 (4) 推出多维高斯公式。

函数图像

知道多维的公式后，下面再简单比较一下一维和二维的图像区别。

上图展示的是 4 个一维高斯函数的图像。高斯函数是一个对称的山峰状，山峰的中心是均值 \(u\)，山峰的「胖瘦」由标准差 \(\sigma\) 决定，如果 \(\sigma\) 越大，证明数据分布越广，那么山峰越「矮胖」，反之，则数据分布比较集中，因此很大比例的数据集中在均值附近，山峰越「瘦高」。在偏离均值 \(u\) 三个 \(\sigma\) 的范围外，数据出现的概率几乎接近 0，因此这一部分的函数图像几乎与 x 轴重合。

下面看二维的例子：

有了一维图像的例子，二维图像就可以类比出来了。如果说，一维只是山峰的一个横截面，那么二维则是一个完整的有立体感的山峰。山峰的「中心」和「胖瘦」和一维的情况是一致的，而且，对于偏离中心较远的位置，数据出现的概率几乎为 0，因此，函数图像在这些地方就逐渐退化成「平原」了。

参数估计

另外，如果给定了很多数据点，并且知道它们服从某个高斯分布，我们要如何求出高斯分布的参数（\(\mu\) 和 \(\Sigma\)）呢？

当然，估计模型参数的方法有很多，最常用的就是极大似然估计。

简单起见，拿一维的高斯模型举例。假设我们有很多数据点：\((x_1, x_2, x_3, \dots, x_m)\)，它们的均值是\(\tilde u\)。一维高斯函数是：\(p(x|\mu, \sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})\)

首先，我们先写出似然函数：

\[\begin{eqnarray} f(x_1, x_2, \dots, x_m)&=&\prod_{i=1}^{m}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{(x_i-\tilde \mu)^2}{2\sigma^2}) \\ &=&(2\pi \sigma^2)^{-\frac{m}{2}}exp(-\frac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\tilde \mu)^2}}{2\sigma^2}) \end{eqnarray} \]

然后取对数：

\[\ln{f(x_1, x_2, \dots, x_m)}=-\frac{m}{2}\ln{(2\pi \sigma^2)}-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n{(x_i-\tilde \mu)^2} \]

求出导数，令导数为 0 得到似然方程：

\[\frac{\partial \ln f}{\partial \overline \mu}=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\tilde \mu)}=0 \]

\[\frac{\partial \ln{f}}{\partial \sigma}=-\frac{m}{\sigma}+\frac{1}{\sigma^3}\sum_{i=1}^n{(x_i-\tilde \mu)}=0 \]

我们可以求出：\(\mu=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{(x_i-\tilde \mu)}\)，\(\sigma=\sqrt{\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{(x_i-\tilde \mu)^2}}\)，可以看到，这其实就是高斯函数中平均值和标准差的定义。

对于高维的情况，平均值和协方差矩阵也可以用类似的方法计算出来。

总结

本文只是从一个简单的二维例子出发，来说明多维高斯公式的来源。在 PRML 的书中，推导的过程更加全面，也复杂了许多，想深入学习多维高斯模型的还是参考教材为准。

重新对比一维和多维的公式：

\[N(x|u,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp[-\frac{1}{2\sigma^2}(x-u)^2] \]

\[N(\overline x | \overline u, \Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{D/2}}\frac{1}{|\Sigma|^{1/2}}exp[-\frac{1}{2}(\overline x-\overline u)^T\Sigma^{-1}(\overline x-\overline u)] \]

其实二者是等价的。一维中，我们针对的是一个数，多维时，则是针对一个个向量求分布。如果向量退化成一维，则多维公式中的 \(D=1\)，\(\Sigma=\sigma^2\)，\(\Sigma^{-1}=\frac{1}{\sigma^2}\)，这时多维公式就退化成一维的公式。所以，在多维的公式中，我们可以把 \(\Sigma\) 当作是样本向量的标准差。

参考

• 协方差矩阵
• Gaussian function

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